Описание игры

Имеется озеро некоторой формы, в котором плавает утка со скоростью \(1\) (изначально находится в "центре" озера). Вокруг озера (иногда по берегу) бегает лиса со скоростью \(V\gt1\).

Задача утки вылезти на берег как можно "дальше" от лисы, а задача лисы поймать утку.

В таком виде задача плохо определена, так как при отсутствии у утки выигрышной стратегии, она может бесконечно долго плавать в озере. Но можно считать, что по прошествии некоторого (достаточно большого) времени утка проигрывает (например, из озера слили воду). Или потребовать, чтобы компонента скорости утки "к берегу" была строго положительная.

Введём обозначение \(U=\sqrt{V^2-1}\).

Проекцией утки будем называть точку на берегу, ближайшую к утке.

Общие соображения, плоский берег

Если утка уже "близко" к берегу, а лиса "неподалёку", то, без потери общности, берег можно "спрямить" и решать следующую задачу. Пусть озеро занимает верхнюю полуплоскость, утка находится в точке с координатами \((0,h)\), а лиса - \((-f,0)\). В какой точке \((r,0)\) утке надо вылезать на берег, чтобы максимизировать расстояние до лисы в этот момент?

Задача решается довольно просто. Пусть \(s\) - расстояние между уткой и лисой в момент вылезания утки. Тогда \(s=(f+r)-V\sqrt{h^2+r^2}\). Максимум достигается при \(\ddfs{s}{r}=1-\frac{Vr}{\sqrt{h^2+r^2}}=0\). То есть, при \(r=\frac{h}{\sqrt{V^2-1}}=\frac{h}{U}\). То есть, выигрыш утки (максимальное расстояние) составляет \[s=f-h\sqrt{V^2-1}=f-hU.\] При этом утка вылезает на берег через время \(t=\sqrt{h^2+r^2}=h\sqrt{1+1/U^2}=hV/U\).

Таким образом, выход утки на берег составляет с касательной к берегу угол \[\cos\alpha=1/V\] (\(\tan\alpha=U\)).

Тогда матрицы поворота касательной к берегу будут \[\pmatrix{1/V & -U/V\\U/V & 1/V}\text{ и }\pmatrix{-1/V & -U/V\\U/V & -1/V}\]

Очевидно, что к точке "высадки", в некоторой области около берега, утка должна двигаться по прямой. Назовём обобщённой эволютой огибающую семейства прямых, образующих заданный угол с заданной кривой. Она обобщает эволюту в смысле произвольности (но фиксированности) угла пересечения прямых с заданной кривой. Тогда, можно надеяться, что движение утки по прямой происходит от соответствующей обобщённой эволюты до берега.

Случай эллипса

Уравнение эллипса имеет вид \[(x,y)=(a\cos\varphi,b\sin\varphi)\]

Касательная к эллипсу пропорциональна \[(-a\sin\varphi,b\cos\varphi)\]

Прямая выхода на берег задаётся \[\eqalign{x&=a\cos\varphi+\xi(-a\sin\varphi-Ub\cos\varphi)\\y&=b\sin\varphi+\xi(-Ua\sin\varphi+b\cos\varphi)}\]

Пересечение двух соседних прямых \[(-a\sin\varphi-\xi a\cos\varphi+\xi Ub\sin\varphi)\dd{\varphi}+(-a\sin\varphi-Ub\cos\varphi)\dd{\xi}=0\\ (b\cos\varphi-\xi Ua\cos\varphi-\xi b\sin\varphi)\dd{\varphi}+(-Ua\sin\varphi+b\cos\varphi)\dd{\xi}=0\] Откуда \[\xi=\frac{U}{V^2}(a/b\sin^2\varphi+b/a\cos^2\varphi),\] что и даёт уравнение обобщённой эволюты.

Общие соображения, прямой угол

Пусть берег имеет излом внутрь (не является гладким). И лиса с уткой "неподалёку" от угла. Будем считать, что угол прямой, а его вершина находится в точке \((0,0)\). А сам берег представляет собой положительные полуоси координат. Пусть утка находится в точке с координатами \((d,h)\), а лиса - \((0,f)\) (\(f\gt h\)).

У утки есть два варианта действий - пытаться вылезти на одну из двух координатных осей. При этом угол выхода в обоих случаях определяется как и ранее (поскольку он не зависел от расстояния до лисы).

Заметим, что стратегия "плыть к соседней стороне" несколько нарушает требование "не удаляться от берега". Но такое нарушение выглядит "правильным" с точки зрения теории.

Что бы найти правильную стратегию утки, нам надо сосчитать расстояние между уткой и лисой в обоих случаях. В случае выхода на ось \(OY\) это будет \(s_y=(f-h)-dU\), а в случае оси \(OX\) - \(s_x=(f+d)-hU\). Переход через угол выгоден при \(s_x\ge s_y\implies d(U+1)\ge h(U-1)\). Обозначим \(\tan\beta=\frac{U-1}{U+1}\). Заметим, что \(1-\tan\beta=\frac{2}{U+1}\).

Если скорость лисы мала, то, как видно, утка может себе обеспечить произвольно большой выигрыш!! Для этого утка сначала отплывает вдоль берега подальше от угла (и плевать ей, что лиса её пасёт в точке проекции), а затем плывёт к "соседнему" берегу.

Поэтому будем считать, что \(V\gt\sqrt{2}\).

Посмотрим на стратегии, если \(f\lt h\). В этом случае будет \(s_y=(h-f)-dU\) и (тот же самый) \(s_x=(f+d)-hU\). Однако, теперь выбор стратегии уткой зависит от положения лисы. Переход через угол будет происходить при \(s_x\ge s_y\): \(2f\ge(h-d)(1+U)\).

Посчитаем скорости изменения координат. Очевидно, что при стратегии \(X\) \(\dot f=-V\), \(\dot h=-U/V\) и \(\dot d=1/V\), то есть \(2\dot f-\dot{(h-d)}(1+U)=(1+U)^2/V-2V=\frac{2U-V^2}{V}\). При стратегии \(Y\) имеем \(\dot f=V\), \(\dot h=1/V\) и \(\dot d=-U/V\), то есть \(2\dot f-\dot{(h-d)}(1+U)=\frac{V^2-2U}{V}\).

Это означает, что при \(2U\ge V^2\) выбор стратегии происходил бы "раз и навсегда". Но только это неравенство всегда неверно. А это означает, что лиса с уткой, совместными усилиями, поддерживают равенство \(2f=(h-d)(1+U)\) если уж оно наступило, то есть "синхронно" движутся к углу.

Предварительные соображения, квадрат

Рассмотрим квадратное озеро со стороной \(2V\) (вершины в точках \((\pm V,\pm V)\)). Построим на его ребре равносторонний треугольник с углом \(\beta\) при основании. Высота этого треугольника будет \(B=V\frac{U-1}{U+1}\) (и она строго меньше \(V-\sqrt{2}\)).

Если утка оказалась в этом треугольнике, то ей необходимо плыть к ближайшему ребру квадрата. По крайней мере, никакое соседнее ребро не может дать больший выигрыш согласно предыдущему. А стратегию "плыть к противоположному ребру" мы отбрасываем, как ведущую к зацикливанию (и потому проигрышную для утки согласно начальным замечаниям).

Тогда, если утка оказалась в этом треугольнике, то и лисе надо бежать по кратчайшему расстоянию к проекции утки. Поэтому назовём этот треугольник "окончательным" (\(F\) на плане).

Один из вариантов начального развития игры состоит в том, что лиса ждёт на середине квадрата пока утка выплывает из центра к середине противоположной стороны. Если утка достигнет окончательного треугольника, то дальше лисе необходимо бежать вокруг озера (в любую сторону), а утка будет плыть к ближай стороне под углом \(\alpha\). Лиса ловит утку при этом если \(4+B/(VU)\le BV/U\), или \[4U+\frac{U-1}{U+1}\le V^2\frac{U-1}{U+1}\\ 4\le U\frac{U-1}{U+1}\\ U^2-5U-4\ge0\\ U\ge\frac{5+\sqrt{41}}{2}\\ V\ge\sqrt{\frac{5}{2}(7+\sqrt{41})}\approx5.7886\] Назовём полученное значение "первой комической скоростью": \(V_1=\sqrt{\frac{5}{2}(7+\sqrt{41})}\).

Если лиса сдвинется раньше, чем утка достигнет окончательного треугольника, то утка повернёт к соседней стороне. Пусть это произошло на расстоянии \(w\) от стороны квадрата. Тогда утке потребуется время \(V^2/U\), а лисе потребуется пробежать \(5V+w+V/U\). Очевидно, что лисе выгодно минимальное \(w\) (а утке всё равно).

Это, как будто бы, означает, что лисе придётся ждать до окончательного треугольника.

Предположим теперь, что утка попадает в окончательный треугольник (зону \(F\)) и зоны \(H^+\). И её проекция при этом на расстоянии \(d\) от верхнего левого угла. То есть, её расстояние до берега \(h=d\frac{U-1}{U+1}\).

Пусть лиса при этом где-то на нижней стороне квадрата и её координата по \(X\) равна \(f\).

Если лиса побежит против часовой стрелки, то выигрыш утки составит \(s_+=V-f+2V+2V-d-hU=5V-(f+d)-dU\frac{U-1}{U+1}\). Если лиса побежит по часовой - \(s_-=V+f+2V+d-hU=3V+(f+d)-dU\frac{U-1}{U+1}\). Или, \(s_+-s_-=2(V-(f+d))\). То есть выбор стратегии лисы определяется положением прямой между ней и проекцией утки по отношению к центру озера.

В наихудшем для лисы случае (\(f=V-d\)) выигрыш будет \(s=4V-dU\frac{U-1}{U+1}\) и он строго больше нуля, если \(d\lt V\), а \(4=U\frac{U-1}{U+1}\).

Таким образом, если мы предполагаем пересечение границы между \(H^+\) и \(F\), то утке надо плыть к точке с координатами \((-f,V-(V-f)\tan\beta)\).

Однако, как только утка вошла в зону \(H^+\), лиса может рвануть по часовой стрелке, и утка будет вынуждена плыть к дальней стороне под стандартным углом \(\alpha\). При этом, если её проекция, как и в предыдущем случае \(d\), то \(h=(2V-d)\frac{U-1}{U+1}\). А выигрыш - \(s=V+f+2V+d-hU=3V+(f+d)-(2V-d)U\frac{U-1}{U+1}=\left.f-5(V-d)\middle|_{V=V_1}\right.\). Последнее равенство получено подстановкой первой комической скорости, и оно означает, что для избежания поимки, утке надо пытаться входить в \(H^+\) так, что бы её проекция была в 5 раз ближе (или ещё ближе) к середине ребра чем лиса.