Где применяется

Ссылка в начале статьи на эту страницу означает, что та страница поддерживает все перечисленные здесь опции (хотя, упоминание опции не означает возможность выбора).

Заголовки и подголовки

На подавляющем большинстве страниц, содержащих "статьи", клик на заголовке параграфа приводит к сворачиванию/разворачиванию текста.

На данный момент это безопционально.

Страницы, у которых внизу, возле даты изменения, находится такая же картинка как на этой странице, находятся в разработке, и их содержимое и структура будут меняться.

Печенки

На данном сайте для сохранения настроек пользователя используются cookies. Так же они используются для сохранения аутентификации (если происходила) для тех страниц, которые требуют авторизации. Некоторые страницы предоставляют возможность сохранять данные (всегда указывается явно) в локальном хранилище браузера.

Эта информация не собирается, не передаётся третьим лицам, не обрабатывается статистически и не анализируется никаким образом кроме как для непосредственных целей.

Вкус и цвет

По историческим причинам, по умолчанию на сайте принят стиль с чёрным фоном и жёлтым текстом. В будущем будет добавлена возможность выбора пользователем фломастеров цветов по своему вкусу.

Пока это будущее не наступило, на многих страницах есть возможность инвертировать цвета нажав серую кнопку без надписей в правом верхнем углу страницы (как и на данной странице). Данный выбор будет сохранён в куках и будет применяться при открытии/обновлении ко всем соответствующим страницам автоматически. Текущую страницу обновлять не требуется (в отличии от прочих настроек).

Сторонний софт

Для страниц, содержащих математические формулы, используется MathJax.js.

Для редких страниц с 3D графикой (WebGL) используется three.js.

Дифференциал

В большинстве формул на сайте дифференциал задаётся специальным оператором. Поэтому имеется возможность изменить его отображение:

Индексы и матрицы

По немым индексам подразумевается суммирование.

При матричном изображении верхний/первый индекс нумерует строки. Если "величина" многоиндексная, то либо она представлена отдельными элементами (отдельные равенства для каждой комбинации индексов), либо матрицей матриц (при этом пары индексов, по которым группируются вложенные матрицы, обозначаются фигурными скобками).

Производные

Для обозначения производной может использоваться точка (в случае когда аргумент "ассоциируется" с временем) или штрих (в общем случае функции одного аргумента или функции двух аргументов когда "второй" из них "время").

Например, \(\dd{f}=\dot{f}\dd{t}+f'\dd{x}\).

Единицы

В подавляющем большинстве случаев используются единицы, при которых скорость света равна 1.

Так же, полагается равной единице постоянная Больцмана (температура измеряется в энергетических единицах).

Для электромагнетизма используются Гауссовы единицы (постоянная Кулона равна 1, а диэлектрическая проницаемость вакуума равна \(1/(4\pi)\)).

Для задач "классической" ОТО полагается равной 1 гравитационная постоянная (и преимущественное использование секунды как основной единицы), а для "околоквантовых" задач полагается равной 1 приведённая постоянная Планка (и метр как основная единица... или электрон-вольт).

Планковские единицы не используются без явной необходимости ввиду "несуразности" численных значений характерных для многих задач величин.

То есть обычно либо \(c=G=k=k_e=1\), либо \(c=\planck=k=k_e=1\). В большинстве случаев в начале текста на странице явно перечисляются равные единице константы.

Для быстрой численной оценки значений во всяких иных системах единиц можно воспользоваться этим "калькулятором".

См. также

Типы направлений и жаргонизмы

В некоторых случаях используется префикс 'T-' для замены прилагательного "времениподобный", а префикс 'S-' - для замены "пространственоподобный". Для замены "изотропный" (в смысле "светоподобный") используется 'L-'.

Например, T-вектор, S-геодезическая, L-поверхность.

Для поверхностей подразумевается следующая иерархия
1. T - имеется касательный T-вектор
2. L - имеется касательный L-вектор
3. S - все касательные вектора пространственоподобны

Так же, часто используются следующие сокращения

ПВ

пространство-время

ЧД

чёрная дыра

ЧДШ

не вращающаяся и не заряженная

ЧДК

вращающаяся, но не заряженная

ТЭИ

тензор энергии-импульса-натяжений (см. ниже)

СК

система координат; карта в терминах дифф.многообразий

СО

система отсчёта; почти синоним термину "наблюдатель"

Индексы и мультииндексы

Для индексации четырёх "тензорных" значений используются буквы в нижнем регистре из середины латинского алфавита \(i,j,k,\dots\). Для индексации четырёх "дополнительных" значений используются строчные латинские буквы из начала алфавита \(a,b,c,\dots\), возможно в круглых скобках (каждый соответствующий индекс). Для индексации трёх значений используются строчные буквы начала греческого алфавита \(\alpha,\beta,\gamma,\dots\). Для индексации двух значений используются прописные латинские буквы начала алфавита \(A,B,C,\dots\).

Если для обозначения координат используются различающиеся буквы, то для указания конкретного значения индекса используется обозначение соответствующей координаты.

Запятая перед индексом(ами) означает частную производную по соответствующей координате(ам), а точка с запятой - ковариантную производную.

Круглые скобки вокруг индексов означают симметризацию, а квадратные - антисимметризацию. То есть, \(A_{(ij)}=\frac{1}{2}(A_{ij}+A_{ji})\) и \(A_{[ij]}=\frac{1}{2}(A_{ij}-A_{ji})\). Для более общего случая см. .

Иногда бывает необходимо указать количество типов индексов какой-то величины. Это делается указанием соответствующего числа в соответствующем месте. Если типов индексов много и/или они отличаются по смыслу от тензорных, то круглые скобки обозначают положение "буквы величины". Основные/тензорные индексы, при этом, пишутся внутри скобок.

Для обозначения мультииндексов используются прописные латинские буквы из середины алфавита \(I,J,K,\dots\).

Координаты

Обычно используются следующие координаты со следующим порядком следования (важно при матричной записи тензоров):

\(t,x,y,z\)

общий четырёхмерный случай с выделением "временной" координаты

\(t,r,\theta,\varphi\)

случай пространственной сферической симметрии с выделением "временной" координаты; если не указано иное, под \(r\) подразумевается "стандартный" радиус (см. Системы координат)

\(t,r,\varphi,z\)

случай пространственной цилиндрической симметрии с выделением "временной" координаты

\(u,v,\theta,\varphi\)

случай пространственной сферической симметрии с двумя изотропными координатами

\(\lambda,r,\theta,\varphi\)

случай пространственной сферической симметрии с одной изотропной координатой (\(\lambda\) - общее обозначения для \(u\) и \(v\) координат)

\(\tau\); \(s\); \(\xi\)

параметризация линии: собственным временем на T-линии, собственной длиной на S-линии, в общем случае соответственно

\(\xi,\eta\)

для общих параметров 2-поверхностей

Но! "Обычно" не означает "обязательно"...

Метрика

Используется метрика с сигнатурой \(+---\)\(-+++\) .

Для сферических координат используется "метрика на сфере" \(\dd{\mathbf\Omega}^2=\dd{\theta}^2+\cos^2\theta\dd{\varphi}^2\). Заметим, что аксиальный угол отсчитывается от экватораполюса .

Для пространственной части метрики часто используется обозначение \(\dd{\mathbf\Sigma}^2\).

В подавляющем большинстве случаев метрический тензор используется для "поднятия и опускания" индексов. И, в частности, на этот тензор можно "делить" в том смысле, что \[g_{ij}A^j=B_i\implies A^j=g^{ji}B_i\notag\]

Аффинная связность, тензор кручения

Аффинная связность определяется так, что \[A^i_{;j}=A^i_{,j}+\Gamma^i_{kj}A^k\notag\] является тензором.

Соответственно, для ковариантных индексов будет \[(A^iB_i)_{,j}=(A^iB_i)_{;j}=A^i_{;j}B_i+A^iB_{i;j}=\\ A^i_{,j}B_i+\Gamma^i_{kj}A^kB_i+A^iB_{i;j}=(A^iB_i)_{,j}-A^iB_{i,j}+\Gamma^l_{ij}A^iB_l+A^iB_{i;j}=\\ (A^iB_i)_{,j}+A^i(B_{i;j}-B_{i,j}+\Gamma^k_{ij}B_k)\\\implies\\ B_{i;j}=B_{i,j}-\Gamma^k_{ij}B_k\notag\]

Антисимметричная часть аффинной связности является тензором и называется тензором кручения, который определяется как \[S^i_{jk}=\Gamma^i_{jk}-\Gamma^i_{kj}\notag\] При этом \[f_{;i;j}-f_{;j;i}=f_{;i,j}-\Gamma^k_{ij}f_{;k}-f_{;j,i}-\Gamma^k_{ji}f_{;k}=-S^k_{ij}f_{;k}\notag\]

Если связность без кручения и согласована с метрическим тензором (связность Леви-Чивиты), то она выражается следующим образом \[\begin{align}g_{jl;k}&=&g_{jl,k}&-\Gamma^i_{jk}g_{il}&-\Gamma^i_{lk}g_{ij}&&\equiv0\notag\\ g_{lk;j}&=g_{lk,j}-\Gamma^i_{lj}g_{ik}-\Gamma^i_{kj}g_{il}=&g_{lk,j}&-\Gamma^i_{jk}g_{il}&&-\Gamma^i_{lj}g_{ik}&\notag\\ -g_{kj;l}&=-g_{kj,l}+\Gamma^i_{kl}g_{ij}+\Gamma^i_{jl}g_{ik}=&-g_{kj,l}&&+\Gamma^i_{lk}g_{ij}&+\Gamma^i_{lj}g_{ik}&\notag \end{align}\notag\] \[\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{il}\left(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}\right)\notag\]

Данная формула не зависит от сигнатуры метрики. Но зависит от определения знака самой гаммы. То же самое имеет место для реальных значений.

Тензор Римана

Тензор кривизны Римана определяется так, что:

Соответствено, \[0\equiv (A^iB_i)_{;j;k}-(A^iB_i)_{;k;j}+S^m_{jk}(A^iB_i)_{;m}=A^i_{;j;k}B_i+A^iB_{i;j;k}-A^i_{;k;j}B_i-A^iB_{i;k;j}+S^m_{jk}A^i_{;m}B_i+S^m_{jk}A^iB_{i;m}=\\ -R^i_{ljk}A^lB_i+A^lB_{l;j;k}-A^lB_{l;k;j}+S^m_{jk}A^lB_{l;m}=(-R^i_{ljk}B_i+B_{l;j;k}-B_{l;k;j}+S^m_{jk}B_{l;m})A^l=\\ (B_{i;j;k}-B_{i;k;j}-R^l_{ijk}B_l+S^l_{jk}B_{i;l})A^i\\\implies\\B_{i;j;k}-B_{i;k;j}=R^l_{ijk}B_l-S^l_{jk}B_{i;l}\notag\]

Через аффинную связность тензор Римана выражается следующим образом: \[A^i_{;j;k}-A^i_{;k;j}=(A^i_{;j})_{,k}+\Gamma^i_{mk}A^m_{;j}-\Gamma^l_{jk}A^i_{;l}-(A^i_{;k})_{,j}-\Gamma^i_{mj}A^m_{;k}+\Gamma^l_{kj}A^i_{;l}=\\ A^i_{,j,k}+\Gamma^i_{mj,k}A^m+\Gamma^i_{mj}A^m_{,k}+\Gamma^i_{mk}A^m_{,j}+\Gamma^i_{lk}\Gamma^l_{mj}A^m-\Gamma^l_{jk}A^i_{,l}-\Gamma^l_{jk}\Gamma^i_{ml}A^m\\ -A^i_{,k,j}-\Gamma^i_{mk,j}A^m-\Gamma^i_{mk}A^m_{,j}-\Gamma^i_{mj}A^m_{,k}-\Gamma^i_{lj}\Gamma^l_{mk}A^m+\Gamma^l_{kj}A^i_{,l}+\Gamma^l_{kj}\Gamma^i_{ml}A^m=\\ (A^i_{,j,k}-A^i_{,k,j})+A^m(\Gamma^i_{mj,k}-\Gamma^i_{mk,j}+\Gamma^i_{lk}\Gamma^l_{mj}-\Gamma^i_{lj}\Gamma^l_{mk})-(\Gamma^l_{jk}-\Gamma^l_{kj})A^i_{;l}\notag\] То есть имеем \[R^i_{jkl}=\Gamma^i_{jl,k}+\Gamma^i_{km}\Gamma^m_{jl}-\Gamma^i_{jk,l}-\Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{jk}\notag\]

Данная формула зависит от знака определения самого тензора Римана и от знака гаммы. Реальные значения зависят только от определения самого тензора Римана.

Тензор Риччи и скалярная кривизна

Тензор кривизны Риччи определяется как:

Реальные знаки компонентов тензора Риччи (типа \(^0_2\)) зависят и от его собственного определения, и от знака тензора Римана.

Скалярная кривизна безвариантно определяется как \(R=g^{ij}R_{ij}\) и её знак зависит от знаков тензоров Риччи, Римана и сигнатуры.

Тензор Эйнштейна

Тензор Эйнштейна безвариантно определяется как \(G_{ij}=R_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}R\).

Реальные значения тензора Эйнштейна (типа \(^0_2\)) зависят от знаков тензоров Риччи и Римана.

Тензор Энергии-Импульса-натяжений (ТЭИ)

ТЭИ безвариантно определяется так, что для идеального газа в сопутствующей системе координат он выражается матрицей \[T^{ij}=\pmatrix{\rho&0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p},\notag\] где \(\rho\gt0\) - плотность (энергии) газа, а \(p\gt0\) - давление газа.

Для идеальной жидкости ТЭИ выражается как \(T^{ij}=(p+\rho)u^iu^j-pg^{ij}\), где \(u^i\) - скорость жидкости. Данная формула (знак второго слагаемого) зависит от сигнатуры. Реальные значения (тензора типа \(^2_0\)) не зависят ни от чего по определению.

Лямбда-член (\(\Lambda\))

Лямбда выбирается так, что её положительноеотрицательное значение соответствует "космологическому отталкиванию", или положительной прибавке к плотности энергии в ТЭИ.

Уравнение Эйнштейна

С учётом всех выбранных знаков уравнение Эйнштейна записывается как \[+G^i_j=8\pi T^i_j+\Lambda\delta^i_j,\notag\] где знак в левой части определяется знаками тензоров Римана и Риччи, а знак второго слагаемого в правой части определяется сигнатурой и знаком лямбды.

Альтернативно, уравнение Эйнштейна может быть записано как \[R^i_j=8\pi(T^i_j-\frac{1}{2}\delta^i_j T^k_k)-\Lambda\delta^i_j.\notag\]