Решение одного диффура
Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида: \[f'(r)=-\frac{A B f(r)r}{A^2f(r)^2-B^2r^2}\]
Перепишем его в следущем виде \[\dd{f}=-\frac{A B f r}{A^2f^2-B^2r^2}\dd{r},\] \[2f\dd{f}=-\frac{A B f^2}{A^2f^2-B^2r^2} 2r\dd{r},\] \[\dd{f^2}=-\frac{A B f^2}{A^2f^2-B^2r^2} \dd{r^2},\] \[\dd{A^2f^2}=-\frac{A}{B}\frac{A^2 f^2}{A^2f^2-B^2r^2} \dd{B^2r^2}\]
Произведём замену \(y=A^2f^2\) и \(x=B^2r^2\). Тогда уравнение примет следующий вид: \[\dd{y}=-\frac{A}{B}\frac{y}{y-x}\dd{x}\] или \[\dd{x}=\frac{B}{A}\left(\frac{x}{y}-1\right)\dd{y}\]
Если \(A\neq B\), то решением будет \[x=C_1 y^{B/A}-\frac{B y}{A-B},\] в противном случае решением будет \[x=C_1 y-y\ln y\]
Рассмотрим отдельные примеры
\(A=2,\quad B=1\)
Тогда имеем \[x=C_1 \sqrt{y}-y,\] \[(x+y)^2=C_1^2y,\] \[y^2+2(x-C_2)y+x^2=0,\] \[y=C_2-x\pm\sqrt{C_2^2-2C_2x}\]
Произведём обратную замену. Тогда \[4f^2=C_2-r^2\pm\sqrt{C_2^2-2C_2r^2}=\left(\sqrt{\frac{C_2}{2}}\pm\sqrt{\frac{C_2}{2}-r^2}\right)^2\]
Окончательно \[f(r)=\frac{1}{2}\left(C\pm\sqrt{C^2-r^2}\right)\]
\(A=3,\quad B=2\)
В этом случае имеем \[x=C_1y^{2/3}-2y,\] \[(x+2y)^3=C_1^3y^2,\] \[8y^3+12(x-C_2)y^2+6x^2y+x^3=0\]
Дискриминант этого уравнения равен \[\Delta=1728x^3C_2^2(4C_2-9x)\]
При положительном дискриминанте решение описывается следующим образом: \[2y=C_2-x+A+A^*,\] где \(2A^3=3C_2x^2-6C_2^2x+2C_2^3+i C_2x\sqrt{4C_2x-9x^2}\) пробегает все три значения корня, а \(A^*\) пробегает сопряжённые значения.
Выразим \(A\) через \(r\): \[A^3=C_2(24r^4-12C_2r^2+C_2^2+8i r^3\sqrt{C_2-9r^2})=27C_3(8r^4-36C_3r^2+27C_3^2+8i r^3\sqrt{C_3-r^2})\]
Соберём всё вместе: \[18f^2=9C^2-4r^2+3\sqrt[3]{8r^4C^2-36C^4r^2+27C^6+8i C^2r^3\sqrt{C^2-r^2}}+3\sqrt[3]{8r^4C^2-36C^4r^2+27C^6-8i C^2r^3\sqrt{C^2-r^2}}\]