Нахождение корней

Имеем уравнение \[-4H^2r^4+15MH^2r^3+Mr-6M^2=0\] или \[r^4-\frac{15M}{4}r^3-\frac{M}{4H^2}r+\frac{6M^2}{4H^2}=0\]

Выполним замену \(r=Mx+\frac{15M}{16}\) и подстановку \(\mu^2=27M^2H^2\), получим: \[x^4-\frac{3^35^2}{2^7}x^2-\frac{3^35^3}{2^9}x-\frac{3^3}{2^2\mu^2}x-\frac{3^55^4}{2^{16}}+\frac{3^7}{2^6\mu^2}=0\]

Перегруппируем слагаемые \[x^4-2\frac{3^35^2}{2^8}x^2+\frac{3^65^4}{2^{16}}=\frac{3^35^3}{2^9}x+\frac{3^3}{2^2\mu^2}x+\frac{3^55^4}{2^{14}}-\frac{3^7}{2^6\mu^2}\] или \[\left(x^2-\frac{3^35^2}{2^8}\right)^2=\frac{3^35^3\mu^2+2^73^3}{2^9\mu^2}x+\frac{3^55^4\mu^2-2^83^7}{2^{14}\mu^2}\]

Добавим некоторый полином от \(y\) к обеим частям: \[\left(x^2-\frac{3^35^2}{2^8}+y\right)^2=\left(x^2-\frac{3^35^2}{2^8}\right)^2+2\left(x^2-\frac{3^35^2}{2^8}\right)y+y^2=\\ 2x^2y+\frac{3^35^3\mu^2+2^73^3}{2^9\mu^2}x+y^2-\frac{3^35^2}{2^7}y+\frac{3^55^4\mu^2-2^83^7}{2^{14}\mu^2}\label{sq}\]

Потребуем (выбором \(y\)), что бы правая часть была точным квадратом. Для этого дискриминант по \(x\) должен быть равен 0: \[\left(\frac{3^35^3\mu^2+2^73^3}{2^9\mu^2}\right)^2-8y\left(y^2-\frac{3^35^2}{2^7}y+\frac{3^55^4\mu^2-2^83^7}{2^{14}\mu^2}\right)=0\] или \[y^3-\frac{3^35^2}{2^7}y^2+\frac{3^55^4\mu^2-2^83^7}{2^{14}\mu^2}y-\frac{(3^35^3\mu^2+2^73^3)^2}{2^{21}\mu^4}=0\]

Сделаем замену \(y=\frac{3^2z}{2^3}+\frac{3^25^2}{2^{7}}\) \[ z^3-3\frac{3^2}{\mu^2}z-2\frac{5^2\mu^2+2}{\mu^4}=0\]

Представим \(z\) как \(z=u_1+u_2\), где \(u\) такие, что \(u_1u_2=\frac{3^2}{\mu^2}\): \[u_1^3u_2^3=\frac{3^6}{\mu^6}\] \[u_1^3+u_2^3+3(u_1u_2-\frac{3^2}{\mu^2})u_1+3(u_1u_2-\frac{3^2}{\mu^2})u_2-2\frac{5^2\mu^2+2}{\mu^4}=\\ u_1^3+u_2^3-2\frac{5^2\mu^2+2}{\mu^4}=0\]

Последние два уравнения означают, что оба \(u\) удовлетворяют уравнению \[u^6-2\frac{2+5^2\mu^2}{\mu^4}u^3+\frac{3^6}{\mu^6}=0,\] которое имеет корни \[u^3=\frac{2+5^2\mu^2}{\mu^4}\pm\sqrt{\frac{(2+5^2\mu^2)^2}{\mu^8}-\frac{3^6}{\mu^6}}=\frac{1}{\mu^4}\left(2+25\mu^2\pm\sqrt{(2+25\mu^2)^2-729\mu^2}\right)\]

Оба корня действительные при \(\mu\le2/25=0.08\) и положительные при этом.

Отсюда имеем \[z=\frac{1}{\mu^{4/3}}\left(\sqrt[3]{2+25\mu^2+\sqrt{(2+25\mu^2)^2-729\mu^2}}+\sqrt[3]{2+25\mu^2-\sqrt{(2+25\mu^2)^2-729\mu^2}}\right)=\frac{1}{\mu^{4/3}}F(\mu),\] где \(F(\mu=0)=\sqrt[3]{4}\).

\[F(\mu)^2=(2+25\mu^2+\sqrt{(2+25\mu^2)^2-729\mu^2})^{2/3}+(2+25\mu^2-\sqrt{(2+25\mu^2)^2-729\mu^2})^{2/3}+18\mu^{2/3}\] \[F(\mu)^3=4+50\mu^2+27\mu^{2/3}F(\mu)\]

Далее \[y=\frac{225}{128}+\frac{9}{8\mu^{4/3}}F(\mu)\] \[y^2-\frac{3^35^2}{2^7}y+\frac{3^55^4\mu^2-2^83^7}{2^{14}\mu^2}-\frac{(3^35^3\mu^2+2^73^3)^2}{2^{21}\mu^4y}\equiv0\]

Последняя формула означает, что правая часть \eqref{sq} действительно является полным квадратом и может быть представлена как \[\left(\sqrt{2y}x+\frac{3^35^3\mu^2+2^73^3}{2^{10}\mu^2\sqrt{2y}}\right)^2\] либо как \[\left(\sqrt{2y}x+\sqrt{y^2-\frac{3^35^2}{2^7}y+\frac{3^55^4\mu^2-2^83^7}{2^{14}\mu^2}}\right)^2\]

Обозначим "варьируемое" слагаемое в обоих выражениях как \(yK(\mu)\) и перепишем уравнение \eqref{sq} как два квадратных уравнения: \[\choise{x^2-\sqrt{2y}x-\frac{675}{256}+y(1-K(\mu))=0\\ x^2+\sqrt{2y}x-\frac{675}{256}+y(1+K(\mu))=0}\] Дискриминанты обоих уравнений равны \[D_\mp=2y+\frac{675}{64}-4y(1\mp K(\mu))\]

Заменим \(\mu^2=2\nu^3\) \[F(\nu)=\left(\sqrt[3]{2+50\nu^3+\sqrt{(2+50\nu^3)^2-1458\nu^3}}+\sqrt[3]{2+50\nu^3-\sqrt{(2+50\nu^3)^2-1458\nu^3}}\right)=\\ \sqrt[3]{4}\left(1+\frac{9}{2}\nu-\frac{529}{24}\nu^3+\frac{1587}{16}\nu^4-\frac{359191}{144}\nu^6+\frac{1716605}{128}\nu^7+O(\nu^9)\right)\] \[y=\frac{225}{128}+\frac{9}{8\mu^{4/3}}F(\mu)=\frac{225}{128}+\frac{9}{8\nu^2}\frac{F(\nu)}{\sqrt[3]{4}}=\frac{9}{8\nu^2}+\frac{81}{16\nu}+\frac{225}{128}-\frac{1587}{64}\nu+O(\nu^2)\] \[\frac{1}{y}=\frac{8}{9}\nu^2-4\nu^3+\frac{299}{18}\nu^4-\frac{2641}{54}\nu^5+O(\nu^6)\\ \frac{1}{y^2}=\frac{64}{81}\nu^4-\frac{64}{9}\nu^5+\frac{3688}{81}\nu^6-\frac{53420}{243}\nu^7+O(\nu^8)\] \[K=\sqrt{1-\frac{3^35^2}{2^7y}+\frac{3^55^4\mu^2-2^83^7}{2^{14}\mu^2y^2}}=\sqrt{1-\frac{3^35^2}{2^7y}+\frac{3^55^4\nu^3-2^73^7}{2^{14}\nu^3y^2}}=1-\frac{27}{4}\nu+\frac{285}{8}\nu^2+O(\nu^3)\]

Отсюда видно, что при малых \(\nu\) второе уравнение имеет отрицательный дискриминант, а первое - два положительных корня \[x=\sqrt{\frac{y}{2}}\pm\sqrt{\frac{y}{2}+\frac{675}{256}+y(K-1)}\]

Почти окончательно имеем \[\frac{15}{16}+x_-=6+144\nu^3+19584\nu^6+3575808\nu^9+O(\nu^{12})=6+72\mu^2+4896\mu^4+446976\mu^6+O(\mu^8)\] \[\frac{15}{16}+x_+=\frac{3}{2\nu}-\frac{3}{4}-\frac{21}{8}\nu-\frac{85}{8}\nu^2-48\nu^3+O(\nu^4)\]

Для получения окончательного результата обозначим \(\frac{3M}{2\nu}=\left(\frac{M}{4H^2}\right)^{1/3}=r^*/4^{1/3}\) и получим \[r_o=6M(1+12\mu^2+816\mu^4+74496\mu^6+O(\mu^8))\] \[r_O=\frac{r^*}{4^{1/3}}(1-\frac{1}{2}\nu-\frac{7}{4}\nu^2-\frac{85}{12}\nu^3-32\nu^4+O(\nu^5))\]