Упражнение на тему метрики Пенлеве

Рассмотрим метрику \[\dd{s}^2=\dd{t}^2-(\dd{x}-U\dd{t})^2-\dots\]

Преобразуем координаты \(t=t_1+f(x)\implies\dd{t}=\dd{t_1}+f'(x)\dd{x}\): \[\dd{s}^2=(1-U^2)\dd{t_1}^2+2((1-U^2)f'(x)+U)\dd{t_1}\dd{x}+(f'(x)^2-(1-Uf'(x))^2)\dd{x}^2-\dots\]

Если потребовать обнуления перекрёстного члена (\(f'(x)=-U/(1-U^2)\)), то получим метрику \[\dd{s}^2=(1-U^2)\dd{t_1}^2-1/(1-U^2)\dd{x}^2-\dots\]

Если далее использовать масштабирование \(t_1=t_2/\sqrt{1-U^2},\;x=x_1\sqrt{1-U^2}\), то получим метрику Минковского \[\dd{s}^2=\dd{t_2}^2-\dd{x_1}^2-\dots\]

Пусть теперь \(x_1=Vt_2\). Тогда \(x=Vt_1(1-U^2)=V(1-U^2)t+VUx\implies x=\frac{V(1-U^2)}{1-VU}t\). Если потребовать, что бы получившаяся скорость была равна \(U\), получим \[V=U\].

Трёхмерный метрический тензор для исходной метрики будет \[\dd{\mathbf\Sigma}^2=\dd{x}^2+\frac{U^2\dd{x}^2}{1-U^2}+\dots=\frac{1}{1-U^2}\dd{x}^2+\dots\]

Выпишем полное преобразование координат: \[t=t_1-\frac{U}{1-U^2}x=\frac{t_2-Ux_1}{\sqrt{1-U^2}}\] \[x=x_1\sqrt{1-U^2}\] \[x-Ut=\frac{x_1-Ut_2}{\sqrt{1-U^2}}\]