Сферические координаты продразумеваются в "обычном" виде \(\left(t,r,\theta,\varphi\right)\), метрика с сигнатурой \(\left(+---\right)\) и без перекрёстных членов1.
Для упрощения записи метрик будет использоваться стандартное обозначение \(\dd{\mathbf\Omega}^2=\dd{\theta}^2+\cos^2\theta\dd{\varphi}^2\). Кроме того, полагается \(G=1\) и \(c=1\).
Тензор Римана определяется в виде \(R^i_{jkl}=\Gamma^i_{jl,k}+\ldots\), а тензор Риччи как \(R_{ij}=R^k_{ikj}\) (что соответствует МТУ и ЛЛ, но обратно Максиме).
Метрика в общем виде
Поскольку радиальная координата в разных случаях может иметь разный смысл, то, чтобы лишний раз не вводить в заблуждение, предлагаются к использованию различающиеся обозначения:
- "стандартные" (std)
- \(r\) для случая когда окружность равна \(2\pi r\), т.е. метрика представлена в виде \[\dd{s}^2=\mathrm{A}_{std}(r,t)^2\dd{t}^2-\mathrm{B}_{std}(r,t)^2\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
- "изотропные" (iso)
- \(\rho\) для случая пространственно изотропных координат, т.е. метрика в виде \[\dd{s}^2=\mathrm{A}_{iso}(\rho,t)^2\dd{t}^2-\mathrm{B}_{iso}(\rho,t)^2\left(\dd{\rho}^2+\rho^2\dd{\mathbf\Omega}^2\right)\]
- "собственные" (own)
- \(l\) для случая “собственного” расстояния вдоль радиуса, метрика - \[\dd{s}^2=\mathrm{A}_{own}(l,t)^2\dd{t}^2-\dd{l}^2-\mathrm{C}_{own}(l,t)^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
- "гармонические" (har)
- \(h\) при выполнении условий \((\sqrt{-\mathrm{det}[g_{ij}]}g^{ij})_{,j}=0\) для "декартового" представления координат (или \(\Box{x^i}=0\))2,
при этом вид метрики \[\dd{s}^2=\mathrm{A}_{har}(h,t)^2\dd{t}^2-\mathrm{B}_{har}(h,t)^2\dd{h}^2-\mathrm{C}_{har}(h,t)^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
(с выполнением условий \(\ddf{t}{\frac{BC^2}{A}}=0\) и \(\ddf{h}{\frac{AC^2}{B}}=2hAB\))
Приведём, для примера, метрику Шварцшильда в этих координатах:
- std
- \[\dd{s}^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dd{t}^2-\frac{1}{\left(1-\frac{2M}{r}\right)}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
- iso
- \[\dd{s}^2=\frac{(2\rho-M)^2}{(2\rho+M)^2}\dd{t}^2-\frac{(2\rho+M)^4}{16\rho^4}\left(\dd{\rho}^2+\rho^2\dd{\mathbf\Omega}^2\right),\] где масштабный фактор выбран так, что бы на бесконечности коэффициенты стремились к 1.
- own
- выводится подстановкой в стандартную метрику решения уравнения \[\sqrt{r^2-2Mr}-M\ln\frac{r-\sqrt{r^2-2Mr}}{r+\sqrt{r^2-2Mr}}=l\]
- har
- \[\dd{s}^2=\frac{h-M}{h+M}\dd{t}^2-\frac{h+M}{h-M}\dd{h}^2-(h+M)^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
и, заодно, матрицу (некоторых) преобразований радиальной координаты:
| | \(r\) | \(\rho\) | \(l\) | \(h\) |
|---|
| \(r\) | - | \[\frac{(2\rho+M)^2}{4\rho}\notag\] | | \[h+M\notag\] |
|---|
| \(\rho\) | \[1/2(r-M+\sqrt{r^2-2Mr})\notag\] | - | | |
|---|
| \(l\) | \[\sqrt{r^2-2Mr}-M\ln\frac{r-\sqrt{r^2-2Mr}}{r+\sqrt{r^2-2Mr}}\notag\] | \[M\ln\rho-\frac{M^2}{4\rho}+\rho\notag\] | - | |
|---|
| \(h\) | \[r-M\notag\] | | | - |
|---|
Также приведём компоненты связности в общем виде
- std
- \[\begin{alignedat}{4}
\Gamma^t_{tt}&=\frac{\dot{A}}{A}=\frac{\dot{A^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{rr}&=\frac{B\dot{B}}{A^2}=\frac{\dot{B^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{\theta\theta}&=0 &\quad
\Gamma^t_{\varphi\varphi}&=0\\
\Gamma^r_{tt}&=\frac{A{A}'}{B^2}=\frac{{A^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^r_{rr}&=\frac{B'}{B}=\frac{{B^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^r_{\theta\theta}&=-\frac{r}{B^2} &\quad
\Gamma^r_{\varphi\varphi}&=-\frac{r}{B^2}\cos^2\theta\\
\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}&=\frac{{A}'}{A}=\frac{{A^2}'}{2A^2} &\quad
\Gamma^\theta_{t\theta}=\Gamma^\theta_{\theta t}&=0 &\quad
\Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}&=\frac{1}{r} &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta\\
\Gamma^r_{tr}=\Gamma^r_{rt}&=\frac{\dot{B}}{B}=\frac{\dot{B^2}}{2B^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{t\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi t}&=0 &\quad
\Gamma^\varphi_{r\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi r}&=\frac{1}{r} &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]
- iso
- \[\begin{alignedat}{4}
\Gamma^t_{tt}&=\frac{\dot{A}}{A}=\frac{\dot{A^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{\rho\rho}&=\frac{B\dot{B}}{A^2}=\frac{\dot{B^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{\theta\theta}&=\frac{\rho^2B\dot{B}}{A^2}=\frac{\rho^2\dot{B^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{\varphi\varphi}&=\frac{\rho^2B\dot{B}}{A^2}\cos^2\theta=\frac{\rho^2\dot{B^2}}{2A^2}\cos^2\theta\\
\Gamma^\rho_{tt}&=\frac{A{A}'}{B^2}=\frac{{A^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^\rho_{\rho\rho}&=\frac{B'}{B}=\frac{{B^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^\rho_{\theta\theta}&=-(\rho+\frac{\rho^2{B}'}{B})=-(\rho+\frac{\rho^2{B^2}'}{2B^2}) &\quad
\Gamma^\rho_{\varphi\varphi}&=-(\rho+\frac{\rho^2{B}'}{B})\cos^2\theta=-(\rho+\frac{\rho^2{B}'}{B})\cos^2\theta\\
\Gamma^t_{t\rho}=\Gamma^t_{\rho t}&=\frac{{A}'}{A}=\frac{{A^2}'}{2A^2} &\quad
\Gamma^\theta_{t\theta}=\Gamma^\theta_{\theta t}&=\frac{\dot{B}}{B}=\frac{\dot{B^2}}{2B^2} &\quad
\Gamma^\theta_{\rho\theta}=\Gamma^\theta_{\theta \rho}&=\frac{1}{\rho}+\frac{{B}'}{B}=\frac{1}{\rho}+\frac{{B^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta\\
\Gamma^\rho_{t\rho}=\Gamma^\rho_{\rho t}&=\frac{\dot{B}}{B}=\frac{\dot{B^2}}{2B^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{t\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi t}&=\frac{\dot{B}}{B}=\frac{\dot{B^2}}{2B^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{\rho\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi \rho}&=\frac{1}{\rho}+\frac{{B}'}{B}=\frac{1}{\rho}+\frac{{B^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]
- own
- \[\begin{alignedat}{4}
\Gamma^t_{tt}&=\frac{\dot{A}}{A}=\frac{\dot{A^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{ll}&=0 &\quad
\Gamma^t_{\theta\theta}&=\frac{C\dot{C}}{A^2}=\frac{\dot{C^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{\varphi\varphi}&=\frac{C\dot{C}}{A^2}\cos^2\theta=\frac{\dot{C^2}}{2A^2}\cos^2\theta\\
\Gamma^l_{tt}&={A{A}'}=\frac{{A^2}'}{2} &\quad
\Gamma^l_{ll}&=0 &\quad
\Gamma^l_{\theta\theta}&=-{C{C}'}=-\frac{{C^2}'}{2} &\quad
\Gamma^l_{\varphi\varphi}&=-{C{C}'}\cos^2\theta=-\frac{{C^2}'}{2}\cos^2\theta\\
\Gamma^t_{tl}=\Gamma^t_{lt}&=\frac{{A}'}{A}=\frac{{A^2}'}{2A^2} &\quad
\Gamma^\theta_{t\theta}=\Gamma^\theta_{\theta t}&=\frac{\dot{C}}{C}=\frac{\dot{C^2}}{2C^2} &\quad
\Gamma^\theta_{l\theta}=\Gamma^\theta_{\theta l}&=\frac{{C}'}{C}=\frac{{C^2}'}{2C^2} &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta\\
\Gamma^l_{tl}=\Gamma^l_{lt}&=0 &\quad
\Gamma^\varphi_{t\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi t}&=\frac{\dot{C}}{C}=\frac{\dot{C^2}}{2C^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{l\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi l}&=\frac{{C}'}{C}=\frac{{C^2}'}{2C^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]
- har
- \[\begin{alignedat}{4}
\Gamma^t_{tt}&=\frac{\dot{A}}{A}=\frac{\dot{A^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{hh}&=\frac{B\dot{B}}{A^2}=\frac{\dot{B^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{\theta\theta}&=\frac{C\dot{C}}{A^2}=\frac{\dot{C^2}}{2A^2} &\quad
\Gamma^t_{\varphi\varphi}&=\frac{C\dot{C}}{A^2}\cos^2\theta=\frac{\dot{C^2}}{2A^2}\cos^2\theta\\
\Gamma^h_{tt}&=\frac{A{A}'}{B^2}=\frac{{A^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^h_{hh}&=\frac{B'}{B}=\frac{{B^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^h_{\theta\theta}&=-\frac{C{C}'}{B^2}=-\frac{{C^2}'}{2B^2} &\quad
\Gamma^h_{\varphi\varphi}&=-\frac{C{C}'}{B^2}\cos^2\theta=-\frac{{C^2}'}{2B^2}\cos^2\theta\\
\Gamma^t_{th}=\Gamma^t_{ht}&=\frac{{A}'}{A}=\frac{{A^2}'}{2A^2} &\quad
\Gamma^\theta_{t\theta}=\Gamma^\theta_{\theta t}&=\frac{\dot{C}}{C}=\frac{\dot{C^2}}{2C^2} &\quad
\Gamma^\theta_{h\theta}=\Gamma^\theta_{\theta h}&=\frac{{C}'}{C}=\frac{{C^2}'}{2C^2} &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta\\
\Gamma^h_{th}=\Gamma^h_{ht}&=\frac{\dot{B}}{B}=\frac{\dot{B^2}}{2B^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{t\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi t}&=\frac{\dot{C}}{C}=\frac{\dot{C^2}}{2C^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{h\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi h}&=\frac{{C}'}{C}=\frac{{C^2}'}{2C^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]
и для метрики Шварцшильда
- std
- \[\begin{alignedat}{3}
\Gamma^r_{tt}&=\frac{M}{r^3}(r-2M) &\quad
\Gamma^r_{rr}&=-\frac{M}{r(r-2M)} &\quad
\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}&=\frac{M}{r(r-2M)}\\
\Gamma^r_{\theta\theta}&=-(r-2M) &\quad
\Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}&=\frac{1}{r} &\quad
\Gamma^\varphi_{r\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi r}&=\frac{1}{r}\\
\Gamma^r_{\varphi\varphi}&=-\left(r-2M\right)\cos^2\theta &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]
- iso
- \[\begin{alignedat}{3}
\Gamma^\rho_{tt}&=\frac{64\rho^4M(2\rho-M)}{(2\rho+M)^7} &\quad
\Gamma^\rho_{\rho\rho}&=-\frac{2M}{\rho(2\rho+M)} &\quad
\Gamma^t_{t\rho}=\Gamma^t_{\rho t}&=\frac{4M}{(2\rho+M)(2\rho-M)}\\
\Gamma^\rho_{\theta\theta}&=-\frac{\rho(2\rho-M)}{2\rho+M} &\quad
\Gamma^\theta_{\rho\theta}=\Gamma^\theta_{\theta \rho}&=\frac{2\rho-M}{\rho(2\rho+M)} &\quad
\Gamma^\varphi_{\rho\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi \rho}&=\frac{2\rho-M}{\rho(2\rho+M)}\\
\Gamma^\rho_{\varphi\varphi}&=-\frac{\rho(2\rho-M)}{2\rho+M}\cos^2\theta &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]
- own
- \[\begin{alignedat}{3}
\Gamma^l_{tt}&={A{A}'}=\frac{{A^2}'}{2} &\quad
\Gamma^l_{ll}&=0 &\quad
\Gamma^t_{tl}=\Gamma^t_{lt}&=\frac{{A}'}{A}=\frac{{A^2}'}{2A^2}\\
\Gamma^l_{\theta\theta}&=-{C{C}'}=-\frac{{C^2}'}{2} &\quad
\Gamma^\theta_{l\theta}=\Gamma^\theta_{\theta l}&=\frac{{C}'}{C}=\frac{{C^2}'}{2C^2} &\quad
\Gamma^\varphi_{l\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi l}&=\frac{{C}'}{C}=\frac{{C^2}'}{2C^2}\\
\Gamma^l_{\varphi\varphi}&=-{C{C}'}\cos^2\theta=-\frac{{C^2}'}{2}\cos^2\theta &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]
- har
- \[\begin{alignedat}{3}
\Gamma^h_{tt}&=\frac{M(h-M)}{(h+M)^3} &\quad
\Gamma^h_{hh}&=-\frac{M}{(h+M)(h-M)} &\quad
\Gamma^t_{th}=\Gamma^t_{ht}&=\frac{M}{(h+M)(h-M)}\\
\Gamma^h_{\theta\theta}&=-(h-M) &\quad
\Gamma^\theta_{h\theta}=\Gamma^\theta_{\theta h}&=\frac{1}{(h+M)} &\quad
\Gamma^\varphi_{h\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi h}&=\frac{1}{(h+M)}\\
\Gamma^h_{\varphi\varphi}&=-(h-M)\cos^2\theta &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]
Выпишем компоненты тензоров кривизны для метрики Шварцшильда:
- std
- \[\begin{alignedat}{3}
R^r_{trt}&=-\frac{2M(r-2M)}{r^4} &\quad
R^\theta_{t\theta t}&=\frac{M(r-2M)}{r^4} &\quad
R^\varphi_{t\varphi t}&=\frac{M(r-2M)}{r^4}\\
R^t_{rtr}&=\frac{2M}{r^2(r-2M)} &\quad
R^\theta_{r\theta r}&=-\frac{M}{r^2(r-2M)} &\quad
R^\varphi_{r\varphi r}&=-\frac{M}{r^2(r-2M)}\\
R^t_{\theta t\theta}&=-\frac{M}{r} &\quad
R^r_{\theta r\theta}&=-\frac{M}{r} &\quad
R^\varphi_{\theta\varphi\theta}&=\frac{2M}{r}\\
R^t_{\varphi t\varphi}&=-\frac{M}{r}\cos^2\theta &\quad
R^r_{\varphi r\varphi}&=-\frac{M}{r}\cos^2\theta &\quad
R^\theta_{\varphi\theta\varphi}&=\frac{2M}{r}\cos^2\theta\\
R_{trtr}&=\frac{2M}{r^3} &\quad
R_{t\theta t\theta}&=-\frac{M(r-2M)}{r^2} &\quad
R_{r\theta r\theta}&=\frac{M}{r-2M}\\
R_{t\varphi t\varphi}&=-\frac{M(r-2M)}{r^2}\cos^2\theta &\quad
R_{r\varphi r\varphi}&=\frac{M}{r-2M}\cos^2\theta &\quad
R_{\theta\varphi\theta\varphi}&=-2M r\cos^2\theta
\end{alignedat}\]
- iso
- \[\begin{alignedat}{3}
R^\rho_{t\rho t}&=-\frac{128\rho^3M(2\rho-M)^2}{(2\rho+M)^8} &\quad
R^\theta_{t\theta t}&=\frac{64\rho^3M(2\rho-M)^2}{(2\rho+M)^8} &\quad
R^\varphi_{t\varphi t}&=\frac{64\rho^3M(2\rho-M)^2}{(2\rho+M)^8}\\
R^t_{\rho t\rho}&=\frac{8M}{\rho(2\rho+M)^2} &\quad
R^\theta_{\rho\theta\rho}&=-\frac{4M}{\rho(2\rho+M)^2} &\quad
R^\varphi_{\rho\varphi\rho}&=-\frac{4M}{\rho(2\rho+M)^2}\\
R^t_{\theta t\theta}&=-\frac{4\rho M}{(2\rho+M)^2} &\quad
R^\rho_{\theta\rho\theta}&=-\frac{4\rho M}{(2\rho+M)^2} &\quad
R^\varphi_{\theta\varphi\theta}&=\frac{8\rho M}{(2\rho+M)^2}\\
R^t_{\varphi t\varphi}&=-\frac{4\rho M}{(2\rho+M)^2}\cos^2\theta &\quad
R^\rho_{\varphi\rho\varphi}&=-\frac{4\rho M}{(2\rho+M)^2}\cos^2\theta &\quad
R^\theta_{\varphi\theta\varphi}&=\frac{8\rho M}{(2\rho+M)^2}\cos^2\theta\\
R_{t\rho t\rho}&=\frac{8M(2\rho-M)^2}{\rho(2\rho+M)^4} &\quad
R_{t\theta t\theta}&=-\frac{4\rho M(2\rho-M)^2}{(2\rho+M)^4} &\quad
R_{\rho\theta\rho\theta}&=\frac{M(2\rho+M)^2}{4\rho^3}\\
R_{t\varphi t\varphi}&=-\frac{4\rho M(2\rho-M)^2}{(2\rho+M)^4}\cos^2\theta &\quad
R_{\rho\varphi\rho\varphi}&=\frac{M(2\rho+M)^2}{4\rho^3}\cos^2\theta &\quad
R_{\theta\varphi\theta\varphi}&=-\frac{M(2\rho+M)^2}{2\rho}\cos^2\theta
\end{alignedat}\]
- har
- \[\begin{alignedat}{3}
R^h_{tht}&=-\frac{2M(h-M)}{(h+M)^4} &\quad
R^\theta_{t\theta t}&=\frac{M(h-M)}{(h+M)^4} &\quad
R^\varphi_{t\varphi t}&=\frac{M(h-M)}{(h+M)^4}\\
R^t_{hth}&=\frac{2M}{(h-M)(h+M)^2} &\quad
R^\theta_{h\theta h}&=-\frac{M}{(h-M)(h+M)^2} &\quad
R^\varphi_{h\varphi h}&=-\frac{M}{(h-M)(h+M)^2}\\
R^t_{\theta t\theta}&=-\frac{M}{h+M} &\quad
R^h_{\theta h\theta}&=-\frac{M}{h+M} &\quad
R^\varphi_{\theta\varphi\theta}&=\frac{2M}{h+M}\\
R^t_{\varphi t\varphi}&=-\frac{M}{h+M}\cos^2\theta &\quad
R^h_{\varphi h\varphi}&=-\frac{M}{h+M}\cos^2\theta &\quad
R^\theta_{\varphi\theta\varphi}&=\frac{2M}{h+M}\cos^2\theta\\
R_{thth}&=\frac{2M}{(h+M)^3} &\quad
R_{t\theta t\theta}&=-\frac{4M(h-M)}{(h+M)^2} &\quad
R_{h\theta h\theta}&=\frac{M}{h-M}\\
R_{t\varphi t\varphi}&=-\frac{4M(h-M)}{(h+M)^2}\cos^2\theta &\quad
R_{h\varphi h\varphi}&=\frac{M}{h-M}\cos^2\theta &\quad
R_{\theta\varphi\theta\varphi}&=-2M(h+M)\cos^2\theta
\end{alignedat}\]
Приведём, для справки, компоненты связности статической метрики в стандартных координатах:
- \(\dd{s}^2=f(r)\dd{t}^2-g(r)\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\)
-
\[\begin{alignedat}{4}
\Gamma^t_{tt}&=0 &\quad
\Gamma^t_{rr}&=0 &\quad
\Gamma^t_{\theta\theta}&=0 &\quad
\Gamma^t_{\varphi\varphi}&=0\\
\Gamma^r_{tt}&=\frac{f'}{2g} &\quad
\Gamma^r_{rr}&=\frac{g'}{2g} &\quad
\Gamma^r_{\theta\theta}&=-\frac{r}{g} &\quad
\Gamma^r_{\varphi\varphi}&=-\frac{r}{g}\cos^2\theta\\
\Gamma^t_{tr}=\Gamma^t_{rt}&=\frac{f'}{2f} &\quad
\Gamma^\theta_{t\theta}=\Gamma^\theta_{\theta t}&=0 &\quad
\Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r}&=\frac{1}{r} &\quad
\Gamma^\theta_{\varphi\varphi}&=\sin\theta\cos\theta\\
\Gamma^r_{tr}=\Gamma^r_{rt}&=0 &\quad
\Gamma^\varphi_{t\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi t}&=0 &\quad
\Gamma^\varphi_{r\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi r}&=\frac{1}{r} &\quad
\Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta}&=-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\end{alignedat}\]