Сила притяжения и потенциал внутри эллипсоида.

Рассмотрим точку \(O\) внутри эллипсоида: \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\lt1\]

Выпишем компоненты силы, действующие в этой точке \[F_x(O)=\rho\iiint\frac{\xi-x}{r^3}\dd{\nu},\\ F_y(O)=\rho\iiint\frac{\eta-y}{r^3}\dd{\nu},\\ F_z(O)=\rho\iiint\frac{\zeta-z}{r^3}\dd{\nu},\] где \(r^2=(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2\)

Поскольку эти интегралы однотипны, достаточно рассмотреть только один из них, например, для \(F_z(O)\).

Примем за начало координат точку \(O\), тогда будем иметь \[\xi=x+r\cos\theta\cos\varphi,\quad \eta=y+r\cos\theta\sin\varphi,\quad \zeta=z+r\sin\theta,\] и, для элемента объёма, \[\dd{\nu}=r^2\cos\theta\dd{\theta}\dd{\varphi}\dd{r}.\]

Тогда, \[F_z=\rho\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\dd{\theta}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\dd{\varphi}\int\limits_0^\tilde{r}\dd{r}= \rho\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\tilde{r}\sin\theta\cos\theta\dd{\theta}\dd{\varphi},\label{Fz1}\] где \(\tilde{r}\) означает расстояние от точки \(O\) до поверхности эллипсоида в направлении \((\theta,\varphi)\). Уравнение для \(\tilde{r}\) выводится из уравнения эллипсоида: \[\frac{(x+\tilde{r}\cos\theta\cos\varphi)^2}{a^2}+\frac{(y+\tilde{r}\cos\theta\sin\varphi)^2}{b^2}+\frac{(z+\tilde{r}\sin\theta)^2}{c^2}=1\] или \[A\tilde{r}^2+2B\tilde{r}+C=0,\] где \[A=a^{-2}\cos^2\theta\cos^2\varphi+b^{-2}\cos^2\theta\sin^2\varphi+c^{-2}\sin^2\theta,\\ B=xa^{-2}\cos\theta\cos\varphi+yb^{-2}\cos\theta\sin\varphi+zc^{-2}\sin\theta,\\ C=x^2a^{-2}+y^2b^{-2}+z^2c^{-2}-1.\] Нетрудно видеть, что для любого положения точки \(A\gt0,\;C\le0\), поэтому всегда имеем один положительный корень \[\tilde{r}=\frac{-B+\sqrt{B^2-AC}}{A}\], что после подстановки в \eqref{Fz1} даёт \[F_z=-\rho\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{B}{A}\sin\theta\cos\theta\dd{\theta}\dd{\varphi}+\\+ \rho\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\sqrt{B^2-AC}}{A}\sin\theta\cos\theta\dd{\theta}\dd{\varphi}.\label{Fz2}\]

Второе слагаемое в \eqref{Fz2} равно нулю, поскольку \(A(-\theta,-\varphi)=A(\theta,\varphi),\;B^2(-\theta,-\varphi)=B^2(\theta,\varphi),\;C(\theta,\varphi)=C\) и соответствующий двойной интеграл можно разбить на четыре части по знакам \(\theta\) и \(\varphi\), которые будут попарно равны по величине и противоположны по знаку. В первое слагаемое подставим \(B\): \[F_z=-\rho xa^{-2}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}A^{-1}\cos^2\theta\sin\theta\cos\varphi\dd{\theta}\dd{\varphi}-\\ -\rho yb^{-2}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}A^{-1}\cos^2\theta\sin\theta\sin\varphi\dd{\theta}\dd{\varphi}-\\ -\rho zc^{-2}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\int\limits_{-\pi}^{\pi}A^{-1}\sin^2\theta\cos\theta\dd{\theta}\dd{\varphi},\] где первые два слагаемых равны нулю, что видно при разбиении их по полпериода \(\varphi\) с учётом \(A(-\varphi)=A(\varphi+\pi)=A(\varphi)\).

Представим теперь \(A\) в виде \[A=U\cos^2\varphi+V\sin^2\varphi,\] где \[U=a^{-2}\cos^2\theta+c^{-2}\sin^2\theta,\quad V=b^{-2}\cos^2\theta+c^{-2}\sin^2\theta.\] Воспользуемся табличным интегралом \[\int\limits_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd{\varphi}}{U\cos^2\varphi+V\sin^2\varphi}=\frac{2\pi}{\sqrt{U V}}.\] Тогда (с учётом чётности подинтегральной ф-ции), \[F_z=-2\pi\rho zc^{-2}\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\sin^2\theta\cos\theta}{\sqrt{(a^{-2}\cos^2\theta+c^{-2}\sin^2\theta)(b^{-2}\cos^2\theta+c^{-2}\sin^2\theta)}}\dd{\theta}=\\ =-4\pi ab\rho z\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{\sin^2\theta\cos\theta}{\sqrt{(c^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta)(c^2\cos^2\theta+b^2\sin^2\theta)}}\dd{\theta}=\\ =-4\pi ab\rho z\int\limits_{0}^{1}\frac{t^2\dd{t}}{\sqrt{(c^2(1-t^2)+a^2t^2)(c^2(1-t^2)+b^2t^2)}}=\\ =-2\pi abc\rho z\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\dd{s}}{(c^2+s)\sqrt{(a^2+s)(b^2+s)(c^2+s)}},\] где использовались подстановки \(\sin\theta=t=c/\sqrt{c^2+s}\).

Введём обозначение \(\Gamma(s)=\sqrt{(a^2+s)(b^2+s)(c^2+s)}\) и выпишем окончательные формулы для силы: \[F_x=-2Px,\quad F_y=-2Qy,\quad F_z=-2Rz,\] \[P=\pi abc\rho \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\dd{s}}{(a^2+s)\Gamma(s)},\\ Q=\pi abc\rho \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\dd{s}}{(b^2+s)\Gamma(s)},\\ R=\pi abc\rho \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\dd{s}}{(c^2+s)\Gamma(s)}.\]

Отсюда легко выписывается потенциал \[\Phi=-\Phi_0+Px^2+Qy^2+Rz^2=-\pi abc\rho\int\limits_{0}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{a^2+s}-\frac{y^2}{b^2+s}-\frac{z^2}{c^2+s}\right)\frac{\dd{s}}{\Gamma(s)}\]

Сила притяжения и потенциал вне эллипсоида.

Применим формулу Остроградского: \[\iiint\limits_{(D)}\dpfs{P}{x}\dd{\nu}=\iint\limits_{(S)}P\cos(n,x)\dd{\sigma}\] \[\dpf{\xi}{\frac{\rho}{r}}=\frac{1}{r}\dpfs{\rho}{\xi}-\frac{\rho}{r^2}\dpfs{r}{\xi}=\frac{1}{r}\dpfs{\rho}{\xi}-\rho\frac{\xi-x}{r^3}\] \[F_x(O)=\rho\iiint\frac{\xi-x}{r^3}\dd{\nu}=\iiint\frac{1}{r}\dpfs{\rho}{\xi}\dd{\nu}-\iiint\dpf{\xi}{\frac{\rho}{r}}\dd{\nu}=-\rho\iint\frac{\cos(n,x)}{r}\dd{\sigma}\] Заметим, что последняя формула справедлива для любой точки \(O\) (и соответствует формуле \eqref{Fz1}). Далее заметим, что \(\cos(n,x)\dd{\sigma}=\dd{\eta}\dd{\zeta}\) и тогда \[F_x(O)=-\rho\iint\limits_{(X)^+}\frac{\dd{\eta}\dd{\zeta}}{r}-\rho\iint\limits_{(X)^-}\frac{\dd{\eta}\dd{\zeta}}{r},\] где \((X)\) - сечение эллипсоида плоскостью \(yOz\) (два слагаемых соответствуют двум разным значениям \(r\) для разных половин поверхности эллипсоида).

Рассмотрим два концентрических соосных софокусных эллипсоида \(E\) и \(E'\) с полуосями \(a,b,c\) и \(a'=\sqrt{a^2+u},b'=\sqrt{b^2+u},c'=\sqrt{c^2+u}\) заполненные материей с одной и той же плотностью \(\rho\). Введём соответствие между точками эллипсоидов по схеме \(x'=\frac{a'}{a}x,\;y'=\frac{b'}{b}y,\;z'=\frac{c'}{c}z\). Тогда, \[(x-\xi')^2+(y-\eta')^2+(z-\zeta')^2-(x'-\xi)^2+(y'-\eta')^2+(z'-\zeta)^2=\\ =(x-\frac{a'}{a}\xi)^2+(y-\frac{b'}{b}\eta)^2+(z-\frac{c'}{c}\zeta)^2-(\frac{a'}{a}x-\xi)^2+(\frac{b'}{b}y-\eta)^2+(\frac{c'}{c}z-\zeta)^2=\\ =x^2(1-\frac{a'^2}{a^2})+\xi^2(\frac{a'^2}{a^2}-1)+y^2(1-\frac{b'^2}{b^2})+\eta^2(\frac{b'^2}{b^2}-1)+z^2(1-\frac{c'^2}{c^2})+\zeta^2(\frac{c'^2}{c^2}-1)=\\ =-u\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\right)+u\left(\frac{\xi^2}{a^2}+\frac{\eta^2}{b^2}+\frac{\zeta^2}{c^2}\right)\equiv 0.\]

Сопоставим теперь силы действующие от первого эллипсоида на точки второго с "обратными". \[F_x(O')=-\rho2\times\iint\limits_{(X)}\frac{\dd{\eta}\dd{\zeta}}{r}\] и \[F'_x(O)=-\rho2\times\iint\limits_{(X')}\frac{\dd{\eta'}\dd{\zeta'}}{r'}.\] Но, для соответствущих точек \(O\) и \(O'\) и соответствующих же точек под интегралом, имеем \(r=r'\) и \(\dd{\eta'}\dd{\zeta'}=\frac{b'c'}{bc}\dd{\eta}\dd{\zeta}\). То есть (теорема Айвори) \[F'_x(O)=\frac{b'c'}{bc}F_x(O')\]

Рассмотрим теперь два софокусных эллипсоида \(E_1\) и \(E_2\) с плотностями \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Возьмём точку \(O'\) лежащую вне обоих и проведём через неё софокусный эллипсоид \(E'\). Тогда имеем: \[{F_1}_x(O')=\frac{b_1c_1}{bc}{F'_1}_x(O_1),\quad {F_2}_x(O')=\frac{b_2c_2}{bc}{F'_2}_x(O_2)\] или \[\frac{{F_1}_x(O')}{{F_2}_x(O')}=\frac{b_1c_1{F'_1}_x(O_1)}{b_2c_2{F'_2}_x(O_2)}.\] Но, поскольку точки \(O_1\) и \(O_2\) лежат внутри эллипсоида \(E'\), то, из предыдущего раздела, имеем: \[\frac{{F'_1}_x(O_1)}{{F'_2}_x(O_2)}=\frac{\rho_1a_1}{\rho_2a_2}.\] То есть \[\frac{{F_1}_x(O')}{{F_2}_x(O')}=\frac{a_1b_1c_1\rho_1}{a_2b_2c_2\rho_2}=\frac{M_1}{M_2}.\] Иными словами, софокусные эллипсоиды притягивают точку вне их в одном и том же направлении пропорционально массам эллипсоидов (теорема Лапласа).

Учитывая, что сила есть производная потенциала, можно записать \[\frac{1}{M_1}\dpfs{\Phi_1}{x}-\frac{1}{M_2}\dpfs{\Phi_2}{x}=0,\quad\frac{1}{M_1}\dpfs{\Phi_1}{y}-\frac{1}{M_2}\dpfs{\Phi_2}{y}=0,\quad\frac{1}{M_1}\dpfs{\Phi_1}{z}-\frac{1}{M_2}\dpfs{\Phi_2}{z}=0.\] С учётом того, что на бесконечности потенциалы обращаются в 0, это означает \[\frac{\Phi_1}{M_1}-\frac{\Phi_2}{M_2}=0.\] Или (теорема Маклорена) \[\frac{\Phi_1}{\Phi_2}=\frac{M_1}{M_2}\]

Для вычисления потенциала эллипсоида во внешней точке \(O\), проведём через неё софокусный эллипсоид \(E'\) с той же плотностью. Тогда \[\Phi(O)=\frac{abc}{a'b'c'}\Phi'(O)=-\pi abc\rho\int\limits_{0}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{a^2+u+s}-\frac{y^2}{b^2+u+s}-\frac{z^2}{c^2+u+s}\right)\frac{\dd{s}}{\Gamma(s+u)}=\\ =-\pi abc\rho\int\limits_{u}^{\infty}\left(1-\frac{x^2}{a^2+s}-\frac{y^2}{b^2+s}-\frac{z^2}{c^2+s}\right)\frac{\dd{s}}{\Gamma(s)}.\] Для вычисления силы можно воспользоваться аналогичной схемой и теоремой Лапласа или просто продифференцировать потенциал: \[F_x=-2P(u)x=-2x\pi abc\rho \int\limits_{u}^{\infty}\frac{\dd{s}}{(a^2+s)\Gamma(s)},\\ F_y=-2Q(u)y=-2y\pi abc\rho \int\limits_{u}^{\infty}\frac{\dd{s}}{(b^2+s)\Gamma(s)},\\ F_z=-2R(u)z=-2z\pi abc\rho \int\limits_{u}^{\infty}\frac{\dd{s}}{(c^2+s)\Gamma(s)},\] где использован тот факт, что подинтегральное выражение (по определению \(u\)) обращается в 0 при подстановке \(u\) вместо \(s\).

Небольшое исследование в общем случае

Введём "производящую" функцию: \[\phi(a,b,c;u)=\frac{1}{2}\int\limits_u^\infty \frac{\dd{s}}{\Gamma(s)}.\] Также введём обозначения \[\phi_a(a,b,c;u)=\frac{1}{a}\dpfs{\phi(a,b,c;u)}{a}=-\frac{1}{2}\int\limits_u^\infty \frac{\dd{s}}{(a^2+s)\Gamma(s)}\] и аналогичные для \(b,c\).

Тогда выражения для потенциала и сил можно выразить следующим образом: \[\Phi=-\frac{3}{2}M\left(\phi(a,b,c;u)+x^2\phi_a(a,b,c;u)+y^2\phi_b(a,b,c;u)+z^2\phi_c(a,b,c;u)\right),\] \[F_x=3M\phi_a(a,b,c;u)x,\quad F_y=3M\phi_b(a,b,c;u)y,\quad F_z=3M\phi_c(a,b,c;u)z,\] где \(M\) - масса эллипсоида, а \(u\) вычисляется из уравнения \[\frac{x^2}{a^2+u}+\frac{y^2}{b^2+u}+\frac{z^2}{c^2+u}=1\] для внешних точек и равно 0 для внутренних точек эллипсоида.

Если \(a\gt b\), то \(-\phi_a(a,b,c;u)\lt-\phi_b(a,b,c;u)\).

Для технических (и не только) целей может быть полезно ввести "вторые эксцентриситеты" \[f^2=\frac{a^2-c^2}{c^2},\quad g^2=\frac{b^2-c^2}{c^2},\] "дополнительный параметр" \[v=\frac{c}{\sqrt{c^2+u}},\] выразить производящую ф-цию следующим образом \[\phi=\frac{1}{c}\int\limits_0^v \frac{\dd{t}}{\sqrt{(f^2t^2+1)(g^2t^2+1)}},\] а её производные \[\phi_a=-\frac{1}{c^3}\int\limits_0^v \frac{t^2\dd{t}}{(f^2t^2+1)\sqrt{(f^2t^2+1)(g^2t^2+1)}},\\ \phi_b=-\frac{1}{c^3}\int\limits_0^v \frac{t^2\dd{t}}{(g^2t^2+1)\sqrt{(f^2t^2+1)(g^2t^2+1)}},\\ \phi_c=-\frac{1}{c^3}\int\limits_0^v \frac{t^2\dd{t}}{\sqrt{(f^2t^2+1)(g^2t^2+1)}}.\]

Рассмотрим эллипсоид подобный данному \(a'=ka,\;b'=kb,\;c'=kc\) и выпишем уравнение для \(v\): \[\frac{x^2}{1+f^2v^2}+\frac{y^2}{1+g^2v^2}+z^2-k^2\frac{c^2}{v^2}=0\] \[\frac{1}{v}\left(\frac{x^2}{(1+f^2v^2)^2}+\frac{y^2}{(1+g^2v^2)^2}+z^2\right)\dd{v}-k\frac{c^2}{v^2}\dd{k}=0\] \[\left.\ddfs{v}{k}\middle|_{k=1}\right.=\frac{c^2}{v\left(\frac{x^2}{(1+f^2v^2)^2}+\frac{y^2}{(1+g^2v^2)^2}+z^2\right)}\]

Эллипсоид вращения

Поскольку в общем случае производящая ф-ция не выражается в элементарных, рассмотрим частный случай эллипсоида вращения \(a=b\). При этом, при вычислении интегралов будем полагать \(a\gt c\), что, тем не менее, не ограничивает общности. \[\phi(a,a,c;u)=\frac{1}{2}\int\limits_u^\infty \frac{\dd{s}}{\Gamma(s)}=\frac{1}{2}\int\limits_u^\infty \frac{\dd{s}}{\sqrt{(a^2+s)(a^2+s)(c^2+s)}}=\frac{1}{2}\int\limits_u^\infty \frac{\dd{s}}{(a^2+s)\sqrt{c^2+s}}=\\ =\int\limits_0^v \frac{c\dd{t}}{t^2(a^2-c^2)+c^2}=\frac{\arctan\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{\sqrt{c^2+u}}}{\sqrt{a^2-c^2}}=\frac{1}{fc}\arctan{fv}\] \[\phi_a(a,a,c;u)=\frac{1}{2}\frac{1}{a^2-c^2}\left(\frac{\sqrt{c^2+u}}{a^2+u}-\phi(a,a,c;u)\right)=\frac{1}{2f^3c^3}\left(\frac{fv}{1+f^2v^2}-\arctan{fv}\right)\] \[\phi_c(a,a,c;u)=\frac{1}{a^2-c^2}\left(\phi(a,a,c;u)-\frac{1}{\sqrt{c^2+u}}\right)=\frac{1}{f^3c^3}\left(\arctan{fv}-fv\right)\] Для \(u\) при этом получается уравнение \[\frac{r^2}{a^2+u}+\frac{h^2}{c^2+u}=1\\ r^2(c^2+u)+h^2(a^2+u)=(a^2+u)(c^2+u)\\ u^2+u(a^2+c^2-r^2-h^2)+a^2c^2-r^2c^2-h^2a^2=0\\ 2u=r^2+h^2-a^2-c^2+\sqrt{(a^2-c^2)^2+(r^2+h^2)^2-2(a^2-c^2)(r^2-h^2)}\]

Формула для потенциала (сплюснутого эллипсоида) выглядит так: \[\Phi=-\frac{3}{2}M\left(\frac{1}{fc}\arctan{fv}+\frac{r^2}{2f^3c^3}\left(\frac{fv}{1+f^2v^2}-\arctan{fv}\right)+\frac{h^2}{f^3c^3}\left(\arctan{fv}-fv\right)\right)\]

Для вытянутого эллипсоида проще всего получить результат положив \(f=i\vartheta\) и учитывая, что \(\arctan{i\vartheta}=i\atanh{\vartheta}\): \[\Phi=-\frac{3}{2}M\left(\frac{1}{\vartheta c}\atanh{\vartheta v}+\frac{r^2}{2\vartheta^3c^3}\left(\atanh{\vartheta v}-\frac{\vartheta v}{1-\vartheta^2v^2}\right)+\frac{h^2}{\vartheta^3c^3}\left(\vartheta v-\atanh{\vartheta v}\right)\right)\]

Сравнение притяжения и потенциалов на полюсах и экваторе эллипсоида вращения.

Внутри эллипсоида имеем \(v=1\). Потенциал в центре есть \(\Phi_0=-\frac{3M}{2c}\frac{\arctan{f}}{f}\).

На полюсе \(r=0,\;h=c\) имеем \[\Phi_p=-\frac{3}{2c}M\left(\frac{\arctan{f}}{f}+\frac{\arctan{f}-f}{f^3}\right)\\ F_p=\frac{3}{c^2}M\frac{\arctan{f}-f}{f^3}\]

На экваторе \(r=c\sqrt{1+f^2},\;h=0\) имеем: \[\Phi_e=-\frac{3}{2c}M\left(\frac{\arctan{f}}{f}+\frac{f-(1+f^2)\arctan{f}}{2f^3}\right)\\ F_e=\frac{3}{c^2}M\frac{f-(1+f^2)\arctan{f}}{2f^3\sqrt{1+f^2}}\]

Откуда \[\frac{F_e}{F_p}=\frac{f-(1+f^2)\arctan{f}}{2(\arctan{f}-f)\sqrt{1+f^2}}=\frac{\sin\alpha\cos\alpha-\alpha}{2(\alpha\cos\alpha-\sin\alpha)}=\frac{2\sqrt{n}(1-n)-(1+n)^2i\log\frac{1-n-2i\sqrt{n}}{1+n}}{2((1-n)i\log\frac{1-n-2i\sqrt{n}}{1+n}-2\sqrt{n})(1+n)},\] где \(\alpha=\arcsin{e}=\arctan{f}\) - угловой эксцентриситет, а \(n=(a-c)/(a+c)\) - "третье сжатие".

Легко видеть, что отношение сил меняется от 1 (сфера) до \(\pi/4\) (тонкий диск) и до бесконечности (тонкий стержень).

Движение в поле эллипсоида вращения.