Теорема Биркгофа
Симметрия вообще
Симметрия ПВ подразумевает возможность так ввести координаты \(x^i=(X^K,X^J)\), что метрика имеет вид \[\dd{s}^2=\dd{X^K}^2+F(X^K)\dd{X^J}^2,\] где метрика \(\dd{X^J}^2\) имеет соответствующие симметрии в явном виде.
Необходимо подчеркнуть отсутствие "перекрёстных" членов вида \(\dd{X^K}\dd{X^J}\) и независимость метрики \(\dd{X^K}\) от координат \(X^J\).
Сферическая симметрия
Метрика
Сферически-симметричное пространство-время подразумевает возможность введения "сферических" координат в некоторой области. То есть, в некоторой области метрика представима в виде \[\dd{s}^2=\tilde a(T,R)\dd{T}^2-\tilde b(T,R)\dd{T}\dd{R}-\tilde c(T,R)\dd{R}^2-R^2\tilde d^2(T,R)\dd{\mathbf\Omega}^2\]
Приведём радиальную координату к "стандартному" виду, т.е. так, что бы длина окружности была \(2\pi r\). Для этого сделаем замену \(r=\tilde d(T,R)R\). Получим метрику следующего вида \[\dd{s}^2=a(T,r)\dd{T}^2-b(T,r)\dd{T}\dd{r}-c(T,r)\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
Избавимся от перекрёстного члена заменой \(T=F(t,r)\): \[\dd{T}=\dot{F}\dd{t}+F'\dd{r}\] \[\dd{T}^2=\dot{F}^2\dd{t}^2+F'^2\dd{r}^2+2\dot{F}F'\dd{t}\dd{r}\] \[2a(F,r)\dot{F}F'\dd{t}\dd{r}-b(F,r)\dot{F}\dd{t}\dd{r}=0\] или \[F'=\frac{b(F,r)}{2a(F,r)}\]
Решение данного уравнения существует в некоторой области, и значит метрика представима в виде \[\dd{s}^2=A(t,r)\dd{t}^2-B(t,r)\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
Сделаем дополнительные замены \(A(t,r)=\e{-2f(t,r)}h(t,r)/r\) и \(B(t,r)=r/h(t,r)\) которые возможны при \(B(t,r)\ne0\). \[\dd{s}^2=\frac{\e{-2f(t,r)}h(t,r)}{r}\dd{t}^2-\frac{r}{h(t,r)}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
\[g_{ij}=\pmatrix{\tfrac{\e{-2f}h}{r}&0&0&0\\0&-\tfrac{r}{h}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\cos^2\theta}\] \[g^{ij}=\pmatrix{\tfrac{r\e{2f}}{h}&0&0&0\\0&-\tfrac{h}{r}&0&0\\0&0&-\tfrac{1}{r^{2}}&0\\0&0&0&-\tfrac{1}{r^{2}\cos^2\theta}}\] \[\sqrt{-g}=r^{2}\e{-f}\cos{\theta}\]
Тензор Эйнштейна
Афинная связность
\[\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{il}(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l})\]
\[{\Gamma ^{t}}_{jk}=\pmatrix{\frac{\dot{h}-2\dot{f}h}{2h}&-\frac{h-rh'+2rf'h}{2rh}&0&0\\ -\frac{h-rh'+2rf'h}{2rh}&-\frac{r^{2}\e{2f}\dot{h}}{2h^{3}}&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0}\\ {\Gamma ^{r}}_{jk}=\pmatrix{-\frac{\e{-2f}h\left(h-rh'+2rf'h\right)}{2r^{3}}&-\frac{\dot{h}}{2h}&0&0\\ -\frac{\dot{h}}{2h}&\frac{h-rh'}{2rh}&0&0\\ 0&0&-h&0\\ 0&0&0&-\cos^2\theta h}\\ {\Gamma ^{\theta }}_{jk}=\pmatrix{0&0&0&0\\ 0&0&\frac{1}{r}&0\\ 0&\frac{1}{r}&0&0\\ 0&0&0&\frac{\sin{2\theta }}{2}}\\ {\Gamma ^{\varphi }}_{jk}=\pmatrix{0&0&0&0\\ 0&0&0&\frac{1}{r}\\ 0&0&0&-\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}\\ 0&\frac{1}{r}&-\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}&0}\]
\[{\Gamma ^{i}}_{jt}=\pmatrix{\frac{\dot{h}-2\dot{f}h}{2h}&-\frac{h-rh'+2rf'h}{2rh}&0&0\\ -\frac{\e{-2f}h\left(h-rh'+2rf'h\right)}{2r^{3}}&-\frac{\dot{h}}{2h}&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0}\\ {\Gamma ^{i}}_{jr}=\pmatrix{-\frac{h-rh'+2rf'h}{2rh}&-\frac{r^{2}\e{2f}\dot{h}}{2h^{3}}&0&0\\ -\frac{\dot{h}}{2h}&\frac{h-rh'}{2rh}&0&0\\ 0&0&\frac{1}{r}&0\\ 0&0&0&\frac{1}{r}}\\ {\Gamma ^{i}}_{j\theta }=\pmatrix{0&0&0&0\\ 0&0&-h&0\\ 0&\frac{1}{r}&0&0\\ 0&0&0&-\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}}\\ {\Gamma ^{i}}_{j\varphi }=\pmatrix{0&0&0&0\\ 0&0&0&-\cos^2\theta h\\ 0&0&0&\frac{\sin{2\theta }}{2}\\ 0&\frac{1}{r}&-\frac{\sin{\theta }}{\cos{\theta }}&0}\]
Тензор Римана
\[R^i_{jkl}=\Gamma^i_{jl,k}-\Gamma^i_{jk,l}+\Gamma^i_{km}\Gamma^m_{jl}-\Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{jk}\]
Однако, вычислим "дважды смешанный" тензор Римана: \[{R^{ij}}_{kl}=g^{jm}R^i_{mkl}=g^{jm}\Gamma^i_{ml,k}-g^{jm}\Gamma^i_{mk,l}+g^{jm}\Gamma^i_{kn}\Gamma^n_{ml}-g^{jm}\Gamma^i_{ln}\Gamma^n_{mk}\]
\[{R^{i\{j}}_{k\}l}=\pmatrix{\Bmatrix{0&0&0&0\\0&-\frac{2h^{4}+2r^{2}f'^{2}h^{4}-2r^{2}h^{4}f''+r^{2}h^{3}h''+3rf'h^{4}-2rh'h^{3}-2r^{4}\e{2f}\dot{h}^{2}-3r^{2}f'h'h^{3}+r^{4}\e{2f}h\ddot{h}+r^{4}\e{2f}\dot{f}\dot{h}h}{2r^{3}h^{3}}&0&0\\0&0&\frac{h-rh'+2rf'h}{2r^{3}}&0\\0&0&0&\frac{h-rh'+2rf'h}{2r^{3}}}& \Bmatrix{0&0&0&0\\\frac{2h^{4}+2r^{2}f'^{2}h^{4}-2r^{2}h^{4}f''+r^{2}h^{3}h''+3rf'h^{4}-2rh'h^{3}-2r^{4}\e{2f}\dot{h}^{2}-3r^{2}f'h'h^{3}+r^{4}\e{2f}h\ddot{h}+r^{4}\e{2f}\dot{f}\dot{h}h}{2r^{3}h^{3}}&0&0&0\\0&0&\frac{\e{2f}\dot{h}}{2h^{2}}&0\\0&0&0&\frac{\e{2f}\dot{h}}{2h^{2}}}& \Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\-\frac{h-rh'+2rf'h}{2r^{3}}&-\frac{\e{2f}\dot{h}}{2h^{2}}&0&0\\0&0&0&0}& \Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\-\frac{h-rh'+2rf'h}{2r^{3}}&-\frac{\e{2f}\dot{h}}{2h^{2}}&0&0}\\ \Bmatrix{0&\frac{2h^{4}+2r^{2}f'^{2}h^{4}-2r^{2}h^{4}f''+r^{2}h^{3}h''+3rf'h^{4}-2rh'h^{3}-2r^{4}\e{2f}\dot{h}^{2}-3r^{2}f'h'h^{3}+r^{4}\e{2f}h\ddot{h}+r^{4}\e{2f}\dot{f}\dot{h}h}{2r^{3}h^{3}}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-\frac{\dot{h}}{2r^{2}}&0\\0&0&0&-\frac{\dot{h}}{2r^{2}}}& \Bmatrix{-\frac{2h^{4}+2r^{2}f'^{2}h^{4}-2r^{2}h^{4}f''+r^{2}h^{3}h''+3rf'h^{4}-2rh'h^{3}-2r^{4}\e{2f}\dot{h}^{2}-3r^{2}f'h'h^{3}+r^{4}\e{2f}h\ddot{h}+r^{4}\e{2f}\dot{f}\dot{h}h}{2r^{3}h^{3}}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&\frac{h-rh'}{2r^{3}}&0\\0&0&0&\frac{h-rh'}{2r^{3}}}& \Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\\frac{\dot{h}}{2r^{2}}&-\frac{h-rh'}{2r^{3}}&0&0\\0&0&0&0}& \Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\frac{\dot{h}}{2r^{2}}&-\frac{h-rh'}{2r^{3}}&0&0}\\ \Bmatrix{0&0&-\frac{h-rh'+2rf'h}{2r^{3}}&0\\0&0&\frac{\dot{h}}{2r^{2}}&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}& \Bmatrix{0&0&-\frac{\e{2f}\dot{h}}{2h^{2}}&0\\0&0&-\frac{h-rh'}{2r^{3}}&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}& \Bmatrix{\frac{h-rh'+2rf'h}{2r^{3}}&\frac{\e{2f}\dot{h}}{2h^{2}}&0&0\\-\frac{\dot{h}}{2r^{2}}&\frac{h-rh'}{2r^{3}}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&\frac{r-h}{r^{3}}}& \Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-\frac{r-h}{r^{3}}&0}\\ \Bmatrix{0&0&0&-\frac{h-rh'+2rf'h}{2r^{3}}\\0&0&0&\frac{\dot{h}}{2r^{2}}\\0&0&0&0\\0&0&0&0}& \Bmatrix{0&0&0&-\frac{\e{2f}\dot{h}}{2h^{2}}\\0&0&0&-\frac{h-rh'}{2r^{3}}\\0&0&0&0\\0&0&0&0}& \Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-\frac{r-h}{r^{3}}\\0&0&0&0}& \Bmatrix{\frac{h-rh'+2rf'h}{2r^{3}}&\frac{\e{2f}\dot{h}}{2h^{2}}&0&0\\-\frac{\dot{h}}{2r^{2}}&\frac{h-rh'}{2r^{3}}&0&0\\0&0&\frac{r-h}{r^{3}}&0\\0&0&0&0}}\]
Тензор Риччи
\[R_{ij}=R^k_{ikj}\] или \[R^i_j={R^{ki}}_{kj}=-{R^{ik}}_{kj}\]
\[{R^{i}}_{j}=\pmatrix{-\frac{f'h^{4}-2rf'^{2}h^{4}+2rh^{4}f''-rh^{3}h''+2r^{3}\e{2f}\dot{h}^{2}-r^{3}\e{2f}h\ddot{h}+3rf'h'h^{3}-r^{3}\e{2f}\dot{f}\dot{h}h}{2r^{2}h^{3}}&-\frac{\e{2f}\dot{h}}{h^{2}}&0&0\\ \frac{\dot{h}}{r^{2}}&\frac{3f'h^{4}+2rf'^{2}h^{4}-2rh^{4}f''+rh^{3}h''-2r^{3}\e{2f}\dot{h}^{2}+r^{3}\e{2f}h\ddot{h}-3rf'h'h^{3}+r^{3}\e{2f}\dot{f}\dot{h}h}{2r^{2}h^{3}}&0&0\\ 0&0&-\frac{1-h'+f'h}{r^{2}}&0\\ 0&0&0&-\frac{1-h'+f'h}{r^{2}}}\]
\[R=\frac{r\e{2f}\left(h\ddot{h}-2\dot{h}^{2}+\dot{f}\dot{h}h\right)}{h^{3}}-\frac{2-2h'-rh''+f'h+3rf'h'-2rf'^{2}h+2rhf''}{r^{2}}\]
Тензор Эйнштейна
\[G^i_j=R^i_j-\frac{1}{2}\delta^i_jR\]
\[G^i_j=\pmatrix{-\frac{h'-1}{r^{2}}&-\frac{\e{2f}\dot{h}}{h^{2}}&0&0\\ \frac{\dot{h}}{r^{2}}&\frac{1-h'+2f'h}{r^{2}}&0&0\\ 0&0&-\frac{rh''+f'h-3rf'h'+2rf'^{2}h-2rhf''}{2r^{2}}-r\e{2f}\frac{h\ddot{h}-2\dot{h}^{2}+\dot{f}\dot{h}h}{2h^{3}}&0\\ 0&0&0&-\frac{rh''+f'h-3rf'h'+2rf'^{2}h-2rhf''}{2r^{2}}-r\e{2f}\frac{h\ddot{h}-2\dot{h}^{2}+\dot{f}\dot{h}h}{2h^{3}}}\]
\[G^{ij}=\pmatrix{-\frac{\e{2f}\left(h'-1\right)}{rh}&\frac{\e{2f}\dot{h}}{rh}&0&0\\ \frac{\e{2f}\dot{h}}{rh}&-\frac{h\left(1-h'+2f'h\right)}{r^{3}}&0&0\\ 0&0&\frac{rh''+f'h-3rf'h'+2rf'^{2}h-2rhf''}{2r^{4}}+\e{2f}\frac{h\ddot{h}-2\dot{h}^{2}+\dot{f}\dot{h}h}{2rh^{3}}&0\\ 0&0&0&\frac{rh''+f'h-3rf'h'+2rf'^{2}h-2rhf''}{2r^{4}\cos^2\theta }+\e{2f}\frac{h\ddot{h}-2\dot{h}^{2}+\dot{f}\dot{h}h}{2r\cos^2\theta h^{3}}}\]
Вакуумное решение
В данном разделе рассмотрим вакуумное решение, то есть случай, когда (смешанный) тензор Эйнштейна равен 0 или пропорционален единичной матрице. Второй вариант соответствует уравнениям Эйнштейна с лямбда-членом.
Из равенства \(G^r_t=0\) получаем \(\dot{h}=0\). А из \(G^r_r-G^t_t=0\) получаем \(f'=0\).
Тогда, тензор Эйнштейна будет равен \[{G^{i}}_{j}=\pmatrix{-\frac{h'-1}{r^{2}}&0&0&0\\0&-\frac{h'-1}{r^{2}}&0&0\\0&0&-\frac{h''}{2r}&0\\0&0&0&-\frac{h''}{2r}}\] Заметим, что \(f(t)\) не входит в этот тензор, что означает "произвол" выбора временной координаты при произвольной замене во всём пространстве сразу. В частности, не нарушая общности, мы можем положить \(f(t)=0\).
Из уравнения \(G^t_t=G^r_r=\Lambda\) получаем \(h'=1-\Lambda r^2\), решением которого является \(h(r)=r-2M-(\Lambda/3)r^3\). При этом уравнения \(G^\theta_\theta=G^\varphi_\varphi=\Lambda\) выполняются автоматически. Выбор константы интегрирования в форме \(-2M\) обусловлен сопоставлением тензора Эйнштейна с ТЭИ идеальной жидкости (см. ниже).
Окончательно получаем метрику в виде \[\dd{s}^2=\left(1-\frac{2M}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2\right)\dd{t}^2-\frac{1}{1-\frac{2M}{r}-\frac{\Lambda}{3}r^2}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
Скалярное поле
Рассмотрим скалярное поле, определяемое Лагранжианом \[\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left(g^{ij}\phi_{,i}\phi_{,j}-m^2\phi^2\right)\] Уравнения движения поля имеем в следующем виде \[0=\left(\dpfs{\mathcal{L}}{\phi_{,i}}\right)_{;i}-\dpfs{\mathcal{L}}{\phi}=g^{ij}\phi_{;i;j}+m^2\phi=\frac{1}{\sqrt{-g}}\left(\sqrt{-g}g^{ij}\phi_{,j}\right)_{,i}+m^2\phi=\\ r\e{f}\dpf{t}{\frac{\e{f}\dot{\phi}}{h}}-\frac{\e{f}}{r^2}\dpfs{r\e{-f}h\phi'}{r}+m^2\phi\] где \(\phi_{,t}=\dot{\phi}\) и \(\phi_{,r}=\phi'\).
ТЭИ даётся формулой \[T^i_j=\phi_{,j}\dpfs{\mathcal{L}}{\phi_{,i}}-\delta^i_j\mathcal{L}=g^{ik}\phi_{,j}\phi_{,k}-\delta^i_j\frac{1}{2}\left(g^{kl}\phi_{,k}\phi_{,l}-m^2\phi^2\right)\] Выпишем ТЭИ покомпонентно \[T^i_j=\frac{1}{2}\pmatrix{r\e{2f}\dot{\phi}^2/h+h\phi'^2/r+m^2\phi^2&0&0&0\\0&-r\e{2f}\dot{\phi}^2/h-h\phi'^2/r+m^2\phi^2&0&0\\0&0&-r\e{2f}\dot{\phi}^2/h+h\phi'^2/r+m^2\phi^2&0\\0&0&0&-r\e{2f}\dot{\phi}^2/h+h\phi'^2/r+m^2\phi^2}\]
Статическое решение
Статическая метрика подразумевает, согласно общему определению, представимость метрики в виде \[\dd{s}^2=\dd{\mathbf\Sigma}^2+F(r,\theta,\varphi)\dd{t}^2\notag\] где \(\dd{\mathbf\Sigma}^2\) не зависит от \(t\).
То есть это означает, что \(\dot{h}=0,\ \dot{f}=0\).
Идеальная жидкость
В сферически-симметричном случае движение материи возможно только по радиусу. Введём единичный радиальный вектор \(\nu^i=\trans{\pmatrix{0&\sqrt{\tfrac{h}{r}}&0&0}}\)
Введём "неподвижного наблюдателя", то есть такого, что его 4-скорость \(n^i=\trans{\pmatrix{\e{f}\sqrt{\tfrac{r}{h}}&0&0&0}}\). Тогда, если скорость материи относительно этого наблюдателя \(v\), то 4-скорость материи будет \[u^i=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}(n^i+v\nu^i)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\trans{\pmatrix{\e f\sqrt{\tfrac{r}{h}}&v\sqrt{\tfrac{h}{r}}&0&0}}\\ u_i=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\pmatrix{\e{-f}\sqrt{\frac{h}{r}}&-v\sqrt{\frac{r}{h}}&0&0}\]
То есть, ТЭИ будет равен \[T^i_j=\frac{p+\rho}{1-v^2}\pmatrix{1&-v\frac{r}{h}\e{f}&0&0\\v\frac{h}{r}\e{-f}&-v^2&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}-p\delta^i_j=\\ \pmatrix{\rho\frac{1}{1-v^2}+p\frac{v^2}{1-v^2}&-v\frac{r}{h}\e{f}\frac{p+\rho}{1-v^2}&0&0\\v\frac{h}{r}\e{-f}\frac{p+\rho}{1-v^2}&-\rho\frac{v^2}{1-v^2}-p\frac{1}{1-v^2}&0&0\\0&0&-p&0\\0&0&0&-p}\] \[T^k_k=\rho-3p\\ 2T^i_j-\delta^i_jT^k_k=\pmatrix{2\rho\frac{1}{1-v^2}+2p\frac{v^2}{1-v^2}-\rho+3p&-2v\frac{r}{h}\e{f}\frac{p+\rho}{1-v^2}&0&0\\2v\frac{h}{r}\e{-f}\frac{p+\rho}{1-v^2}&-2\rho\frac{v^2}{1-v^2}-2p\frac{1}{1-v^2}-\rho+3p&0&0\\0&0&p-\rho&0\\0&0&0&p-\rho} \]
Это даёт нам следующую систему уравнений: \[\left\{\eqalign{\frac{\dot{h}}{h}\e{f}&=8\pi vr\frac{p+\rho}{1-v^2}\\ h'&=1-8\pi r^2\left(\rho\frac{1}{1-v^2}+p\frac{v^2}{1-v^2}\right)\\ f'h&=-4\pi r^2\frac{1+v^2}{1-v^2}(\rho+p)\\ 8\pi p&=\frac{rh''+f'h-3rf'h'+2rf'^2h-2rhf''}{2r^2}+\frac{r\e{f}}{2}\dpf{t}{\frac{\dot{h}\e{f}}{h^2}} }\right.\label{eqLiq}\]
Неподвижная несжимаемая идеальная жидкость
Пусть имеется статический шар идеальной жидкости радиуса \(R\). Естественно считать, что давление на его поверхности равно \(0\).
Дополнительно ограничимся условием несжимаемости жидкости.
То есть, имеем условия \(v=0,\ \rho=const\) и \(\dot{h}=0,\ \dot{f}=0\).
Из \eqref{eqLiq} получаем: \[\left\{\eqalign{ h'&=1-8\pi r^2\rho\\ -f'h&=4\pi r^2(\rho+p)\\ 16\pi r^2p&=rh''+f'h-3rf'h'+2rf'^2h-2rhf''\\ }\right.\label{eqLiqC}\]
Первое уравнение в \eqref{eqLiqC} легко интегрируется: \[h=r-2\mathscr{M}(r)=r-2\int_0^r4\pi r^2\rho\dd{r}=r-2\frac{4\pi}{3}r^3\rho.\] Здесь введена "функция массы" \(\mathscr{M}(r)=\int_0^r4\pi r^2\rho\dd{r}\). Отметим, что это не "количество вещества" - оно даётся интегралом \(\int_0^r4\pi r^2\rho\e{-f}\dd{r}\). Дополнительно введём обозначение \(M=\frac{4\pi}{3}R^3\rho\) и окончательно запишем \[h=r-2(M/R^3)r^3.\]
Далее, подставим третье уравнение из \eqref{eqLiqC} во второе (отметим, что условие \(\rho=const\) приводит к сокращению членов с \(\rho\) и второй производной \(h\)): \[f''-f'^2=f'\frac{5h-3h'r}{2hr}=\frac{f'}{r}\frac{r+4(M/R^3)r^3}{r-2(M/R^3)r^3}.\] Решением этого уравнения (Бернулли) будет \[f'=-\frac{2(M/R^3)r}{(1-2(M/R^3)r^2)(1-(M/R^3)C\sqrt{1-2(M/R^3)r^2})},\] где \(C\) - константа интегрирования.
Теперь из второго уравнения \eqref{eqLiqC} найдём давление: \[p=\frac{-f'h}{4\pi r^2}-\rho=\frac{2\rho}{3-4\pi\rho C\sqrt{1-2(M/R^3)r^2}}-\rho\] и найдём константу интегрирования из условия \(p(R)=0\): \[C=\frac{1}{4\pi\rho\sqrt{1-2M/R}}=\frac{1}{3(M/R^3)\sqrt{1-2M/R}}.\] Окончательно имеем \[p=\rho\frac{\sqrt{1-2(M/R^3)r^2}-\sqrt{1-2M/R}}{3\sqrt{1-2M/R}-\sqrt{1-2(M/R^3)r^2}}.\]
Как нетрудно видеть, в общем случае, на некотором радиусе давление достигает бесконечных значений: \[r_\infty=R\sqrt{9-4R/M}.\] Это означает, что модель несжимаемой жидкости теряет применимость, а реальное вещество, несдерживаемое необходимым давлением, будет двигаться к центру, что означает коллапс. То есть, вещество может оставаться в статическом состоянии только при условии \[R\gt\frac{9}{4}M.\] Причём, любое вещество - подробности см. . Однако, ограничение на давление ещё более жёсткое (см. ) - оно не может превышать трети плотности. Соответствующий радиус равен \[r_c=\frac{R}{2}\sqrt{9-\frac{5}{2}R/M},\] а ограничение на радиус шара ужесточается до \[R\gt\frac{18}{5}M\] (то есть, даже фотонная сфера оказывается внутри вещества).
Вернёмся теперь к метрическим компонентам. Нам осталось вычислить \(f(r)\). \[f'(r)=-\frac{6(M/R^2)\sqrt{1-2M/R}(r/R)}{(1-2M/R(r/R)^2)(3\sqrt{1-2M/R}-\sqrt{1-2M/R(r/R)^2})}\] \[\sqrt{1-2M/R}=A\\ 2M/R=1-A^2\\ t(x)=f(xR)\\ t'(x)=Rf'(xR)\] \[t'(x)=-\frac{3(1-A^2)Ax}{(1-(1-A^2)x^2)(3A-\sqrt{1-(1-A^2)x^2})}\] \[t(x)=C-\ln\left(\frac{3\sqrt{1-2M/R}}{\sqrt{1-2M/Rx^2}}-1\right)\] \[f(r)=\ln2-\ln\left(\frac{3\sqrt{1-2M/R}}{\sqrt{1-2(M/R^3)r^2}}-1\right)\] (\(f(R)=0\) так как \(f=0\) в вакууме)
Наконец, сравним "количество вещества" с массой: \[\mathscr{M}_m(r)=\int_0^r4\pi r^2\rho\e{-f}\dd{r}=\int_0^r4\pi r^2\rho\frac{1}{2}\left(\frac{3\sqrt{1-2M/R}}{\sqrt{1-2(M/R^3)r^2}}-1\right)\dd{r}=\\ =6\pi\rho R^3\sqrt{1-2M/R}\int_0^{r/R}\frac{x^2}{\sqrt{1-2M/Rx^2}}\dd{x}-\frac{1}{2}\mathscr{M}(r)=\\ =6\pi\rho R^3\sqrt{1-2M/R}\left(\frac{\arcsin(\sqrt{2M/R}r/R)}{2(2M/R)^{3/2}}-\frac{r/R\sqrt{1-2(M/R^3)r^2}}{4M/R}\right)-\frac{1}{2}\mathscr{M}(r) \] \[M_m/M=\mathscr{M}_m(R)/M=\frac{9}{4}\sqrt{1-2M/R}\frac{\arcsin(\sqrt{2M/R})}{(2M/R)^{3/2}}-\frac{9}{8M/R}+\frac{7}{4}\] \[(M_m/M)_c=\frac{81}{10}\frac{\arcsin(\sqrt{5}/3)}{\sqrt{5}}-\frac{23}{10}\approx0.75\]