Vaidya metric
Получение метрики
Рассмотрим метрику Шварцшильда \[\dd{s}^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dd{t}^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2.\] Произведём две замены \(t=u+r+2M\ln\left(\frac{r}{2M}-1\right)\) и \(t=v-r-2M\ln\left(\frac{r}{2M}-1\right)\). Получим две метрики Эддингтона-Финкельштейна: \[\dd{s}^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dd{u}^2+2\dd{u}\dd{r}-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2,\] \[\dd{s}^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dd{v}^2-2\dd{v}\dd{r}-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2.\] Нетрудно видеть, что \(u=const\) (\(v=const\)) соответствует радиальной исходящей (входящей) световой геодезической. А в каждой точке пространства они соответствуют Шварцшильдовскому времени (с неким сдвигом).
Метрики Вайдья получаются заменой константы \(M\) на произвольную невозрастающую (неубывающую) функцию от соответствующей изотропной координаты. Метрика при этом перестаёт быть вакуумным решением. Вместо этого, она описывает чистое радиацонное радиальное поле, уносящее массу ЧД на бесконечность (приносящее с бесконечности).
Перепишем метрики в объединённом виде: \[\dd{s}^2=\left(1-\frac{2M(\lambda)}{r}\right)\dd{\lambda}^2+2k\dd{\lambda}\dd{r}-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2,\] где \(k=1\) соответствует случаю уноса массы на бесконечность, \(k=-1\) - падению массы из бесконечности, и \(k\dot{M}:=k\ddf{\lambda}{M(\lambda)}\le0\) - энергетическое условие.
Различные производные величины
\[\begin{alignedat}{4}g^{\lambda r} &=k &\quad g^{rr} &=-\left(1-\frac{2M}{r}\right) &\quad g^{\theta\theta} &=-\frac{1}{r^2} &\quad g^{\varphi\varphi} &=-\frac{1}{r^2\cos^2\theta}\end{alignedat}\]
\[\begin{alignedat}{4} \Gamma^\lambda_{\lambda\lambda} &=-k\frac{M}{r^2} &\quad \Gamma^\lambda_{rr} &=0 &\quad \Gamma^\lambda_{\theta\theta} &= kr &\quad \Gamma^\lambda_{\varphi\varphi} &= kr\cos^2\theta\\ \Gamma^r_{\lambda\lambda} &= -\frac{kM'}{r}+\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{M}{r^2} &\quad \Gamma^r_{\lambda r}=\Gamma^r_{r\lambda} &=k\frac{M}{r^2} &\quad \Gamma^r_{\theta\theta} &=2M-r &\quad \Gamma^r_{\varphi\varphi} &=(2M-r)\cos^2\theta\\ \Gamma^\theta_{r\theta}=\Gamma^\theta_{\theta r} &= \frac{1}{r} &\quad \Gamma^\varphi_{r\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi r} &= \frac{1}{r} &\quad \Gamma^\theta_{\varphi\varphi} &= \cos\theta\sin\theta &\quad \Gamma^\varphi_{\theta\varphi}=\Gamma^\varphi_{\varphi\theta} &= -\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \end{alignedat}\]
Радиально движущийся наблюдатель
Без ограничения общности можно считать, что \(\theta=0,\;\varphi=0\). Тогда имеем следующее условие на компоненты скорости \[U^\lambda\left(\left(1-\frac{2M}{r}\right)U^\lambda+2kU^r\right)=1\] \[2k\left(\dot{U^r}+\frac{M}{r^2}-k\frac{\dot{M}}{r}{U^\lambda}^2\right)+\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(\dot{U^\lambda}-k\frac{M}{r^2}{U^\lambda}^2\right)+\frac{\dot{U^\lambda}}{{U^\lambda}^2}-k\frac{M}{r^2}=0\] и ускорения \[A^\lambda=\dot{U^\lambda}-k\frac{M}{r^2}{U^\lambda}^2,\] \[A^r=\dot{U^r}+\frac{M}{r^2}-k\frac{\dot{M}}{r}{U^\lambda}^2.\]
\[-A^2=A^\lambda\left(\left(1-\frac{2M}{r}\right)A^\lambda+2kA^r\right)=\\ =2k\frac{M}{r^2}\dot{U^\lambda}-\frac{M^2}{r^4}{U^\lambda}^2-\frac{\dot{U^\lambda}^2}{{U^\lambda}^2}=\\ =-\left(\frac{\dot{U^\lambda}}{U^\lambda}-k\frac{M}{r^2}U^\lambda\right)^2=-\frac{{A^\lambda}^2}{{U^\lambda}^2}\]
Неподвижный наблюдатель
Будем считать неподвижным наблюдателя у которого \(U^r=0\). Например, он построил "сферу Дайсона" и сидит на ней. Тогда \[U^\lambda=\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1/2},\] и \[\dot{U^\lambda}=\frac{\dot{M}{U^\lambda}^2}{r-2M}=\frac{\dot{M}}{r-2M}\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}.\] А ускорение \[A^i=\left(\left(\frac{\dot{M}}{r-2M}-k\frac{M}{r^2}\right)\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1},\frac{M}{r^2}-k\frac{\dot{M}}{r-2M},0,0\right)\]
Само ускорение (его модуль) будет \[A^2=\left(\frac{\dot{M}}{r-2M}-k\frac{M}{r^2}\right)^2\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}=\left(\frac{M}{r^2}-k\frac{\dot{M}}{r-2M}\right)^2\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}.\] Или, ускорение "с точки зрения удалённого наблюдателя" (скорректированное на замедление времени) \[a=\frac{M}{r^2}-k\frac{\dot{M}}{r-2M}=\frac{M}{r^2}+\frac{|\dot{M}|}{r-2M}\]
Некоторая другая метрика
Рассмотрим метрику \[\dd{s}^2=\left(1-\frac{2M(t-r)}{r}\right)\dd{t}^2-\left(1+\frac{2M(t-r)}{r}\right)\left(\dd{r}^2+r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\right)\] где \(M(\lambda)\) - некоторая убывающая функция. Обозначим \(\mu(t,r)=M(t-r)/r\).
Выпишем явно все необходимые производные величины \[g_{tt}=1-2\mu,\ g_{rr}=-1-2\mu,\ g^{tt}=\frac{1}{1-2\mu},\ g^{rr}=-\frac{1}{1+2\mu}\] \[g_{tt,t}=-2\frac{M'}{r},\ g_{tt,r}=2\frac{M'+\mu}{r},\ g_{rr,t}=-2\frac{M'}{r},\ g_{rr,r}=2\frac{M'+\mu}{r}\] \[\Gamma^t_{tt}=-\frac{M'}{r(1-2\mu)},\ \Gamma^t_{tr}=\frac{\mu+M'}{r(1-2\mu)},\ \Gamma^t_{rr}=\frac{M'}{r(1-2\mu)}\\ \Gamma^r_{tt}=\frac{\mu+M'}{r(1+2\mu)},\ \Gamma^r_{tr}=\frac{M'}{r(1+2\mu)},\ \Gamma^r_{rr}=-\frac{\mu+M'}{r(1+2\mu)}\]
Рассмотрим, как и ранее, радиально движущегося наблюдателя. \[(1-2\mu){U^t}^2-(1+2\mu){U^r}^2=1\] \[A^t=\dot{U^t}+2\mu\frac{U^tU^r}{r(1-2\mu)}-M'\frac{{U^t}^2-{U^r}^2-2U^tU^r}{r(1-2\mu)}\\ A^r=\dot{U^r}+\mu\frac{{U^t}^2-{U^r}^2}{r(1+2\mu)}+M'\frac{{U^t}^2-{U^r}^2+2U^tU^r}{r(1+2\mu)}\\ U^t(r(r-2M)\dot{U^t}+2MU^tU^r-rM'({U^t}^2-{U^r}^2-2U^tU^r))-U^r(r(r+2M)\dot{U^r}+M({U^t}^2-{U^r}^2)+rM'({U^t}^2-{U^r}^2+2U^tU^r))=0\] \[A^2=\frac{1}{1-2\mu}\left((1-2\mu)\dot{U^t}+2\mu\frac{U^tU^r}{r}-M'\frac{{U^t}^2-{U^r}^2-2U^tU^r}{r}\right)^2 -\frac{1}{1+2\mu}\left((1+2\mu)\dot{U^r}+\mu\frac{{U^t}^2-{U^r}^2}{r}+M'\frac{{U^t}^2-{U^r}^2+2U^tU^r}{r}\right)^2\] \[U^t=\sqrt{\frac{1}{1-2\mu}+\frac{1+2\mu}{1-2\mu}{U^r}^2}\\ \dot{\mu}=\frac{M'}{r}(U^t-U^r)-frac{\mu}{r}U^r=\frac{M'}{r}U^t-\frac{\mu+M'}{r}U^r\]
Наивно предположим (при условии \(\mu\ll1\)), что \(U^r=0\), а \(U^t=1+\mu\). Тогда, \(\dot{U^t}=M'(1+\mu)/r\), и \[A^t=-\frac{3\muM'}{r}\\ A^r=\frac{\mu+M'}{r}\] \[-A^2=(1+2\mu)\frac{(\mu+M')^2}{r^2}\\ |A|=\frac{M}{r^2}(1+r(M'/M))(1+\mu)\]
Однако, "неподвижным" наблюдателем должен считаться тот, для которого \(r^2(1+2\mu)=\const\): \[2r\dd{r}+2M\dd{r}+2rM'(\dd{t}-\dd{r})=0\\ (r+M-rM')U^r+rM'U^t=0\\ ((r-2M)(r+M)^2-2(r-2M)r(r+M)M'-4r^2MM'^2){U^r}^2=r^3M'^2\\ U^r=-M'\sqrt{\frac{r^3}{(r-2M)(r+M)^2-2(r-2M)r(r+M)M'-4r^2MM'^2}}\approx -M'\sqrt{\frac{1}{1-2(1-M/r)M'-4(M/r)M'^2}}\approx -M'(1+M')\\ U^t=\sqrt{1+2M/r+(1+4M/r)M'^2(1+2(1-M/r)M')}\approx1+\mu\\ \dot{U^r}=-M''(1+M/r+3M')+\frac{M'^3}{r}(1+3M/r+2M')\\ \dot{U^t}=\frac{M'}{r}(1+2\mu+(1+\mu)M') A^t=\dot{U^t}-2M\frac{U^tM'(1+(1-M/r)M')}{r(r-2M)}-M'\frac{{U^t}^2-M'^2(1+(1-M/r)M')^2+2U^tM'(1+(1-M/r)M')}{r-2M}\]