Возьмём наблюдателя, неподвижного относительно ЧД находящегося на расстоянии \(R\) от неё (её центра). Пусть мимо него пролетают частицы (пробные тела) двух типов: находящиеся на круговых орбитах и падающие по радиусу (с нулевой скоростью на бесконечности). Сравним физические скорости этих частиц с точки зрения указанного наблюдателя.

Будут использоваться стандартные координаты, метрика Шварцшильда, соглашения \(c=1\) и \(G=1\). Движения предполагаются в плоскости \(\theta=0\). Для удобства введём ф-цию \(f(r)=1-\frac{2M}{r}\). \[\dd{s}^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\dd{t}^2-\frac{1}{1-\frac{2M}{r}}\dd{r}^2-r^2\dd{\theta}^2-r^2\cos^2\theta\dd{\varphi}^2=f(r)\dd{t}^2-\frac{1}{f(r)}\dd{r}^2-r^2\dd{\varphi}^2\label{metric}\]

Вкратце повторим вывод, изложенный в википедии.

Основной факт, который здесь будет использоваться без вывода, это что есть два интеграла движения: \[r^2\ddfs{\varphi}{\tau}=l\label{int_phi}\] и \[\left(1-\frac{2M}{r}\right)\ddfs{t}{\tau}=\varepsilon,\label{int_t}\] где \(l\) - удельный момент импульса, \(\varepsilon\) - (полная) удельная энергия частицы, а \(\tau\) - собственное время частицы.

Подстановка этих интегралов в метрику даёт: \[\left(\ddfs{r}{\tau}\right)^2=\varepsilon^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\left(1+\frac{l^2}{r^2}\right)\label{rtau}\]

Круговое движение возможно только в случае, когда производная по \(r\) правой части \eqref{rtau} равна 0. \[\frac{M}{r^2}-\frac{l^2}{r^3}+\frac{3M l^2}{r^4}=\frac{1}{r^4}(M r^2-l^2r+3M l^2)=0\]

Отсюда получаем выражение для удельного момента импульса через радиус орбиты: \[l^2=\frac{M r^2}{r-3M}\label{lr}\]

Подстваляя \eqref{lr} в \eqref{rtau} и учитывая, что производная должна быть равна 0, получим выражение для удельной энергии: \[\varepsilon^2=\frac{(r-2M)^2}{r(r-3M)}\label{er}\]

Первая космическая скорость определяется (с учётом метрики \eqref{metric}) выражением: \[v_1^2=\frac{r^2}{f(r)}\left(\ddfs{\varphi}{t}\right)^2\] Подставляя сюда \eqref{int_phi} и \eqref{int_t} получим \[v_1^2=\frac{l^2f(r)}{r^2\varepsilon^2}\] Учитывая \eqref{lr} и \eqref{er} окончательно получаем \[v_1^2=\frac{M}{r-2M}\label{v1}\]

Частицы с радиальным падением (при нулевой скорости на бесконечности) характеризуются условиями \(l=0\) и \(\varepsilon=1\). Подстановка значений в \eqref{rtau} даёт \[\left(\ddfs{r}{\tau}\right)^2=\frac{2M}{r}\label{rtau2}\]

Вторая космическая скорость определяется (с учётом метрики \eqref{metric}) выражением: \[v_2^2=\frac{1}{f(r)^2}\left(\ddfs{r}{t}\right)^2\] Или, с учётом \eqref{int_t} и \eqref{rtau2} \[v_2^2=\frac{2M}{r}\label{v2}\]

Беря отношение выражений \eqref{v2} и \eqref{v1} получаем \[\frac{v_2^2}{v_1^2}=2\left(1-\frac{2M}{r}\right)=2f(r)\]

На бесконечности мы получаем "классическое" отношение скоростей \(\sqrt{2}\). Однако, при \(r=4M\) отношение скоростей становится равно 1.

Заметим, что это расстояние больше радиуса фотонной сферы (\(3M\)), но меньше радиуса последней устойчивой круговой орбиты (\(6M\)).

На фотонной сфере (круговая орбита с минимально возможным радиусом) отношение становится \(\sqrt{2/3}\)