Космологические упражнения
Общие выкладки
Метрика однородной изотропной вселенной в общем виде в сопутствующих координатах даётся выражением (см. например ) \[\dd{s}^2=\dd{T}^2-a(T)^2\left(\frac{\dd{R}^2}{1-K R^2}+R^2\dd{\mathbf\Omega}^2\right),\label{LRW}\] где \(K=\pm1,0\) - характеристика кривизны (сечения ПВ при постоянном времени), а масштабный фактор \(a(T)\) описывается уравнением Фридмана \[\dot{a}(T)^2+K=\frac{8\pi\rho(a)a(T)^2}{3}=\varrho(a)a(T)^2\label{FE}\]
Для различных видов материи имеем разную зависимость \(\rho(a)\) и общий результат получается суммированием \(\rho\) каждого вида материи. Для физ.вакуума (космологическая константа, тёмная энергия (ТЭ)) имеем \(\rho_\Lambda=const\), для холодной материи без давления (ТМ) \(\rho_D\propto\frac{1}{a^3}\) и для излучения (И) \(\rho_R\propto\frac{1}{a^4}\).
Попытаемся привести метрику \eqref{LRW} к стандартным координатам.
Произведём замену \(r=a(T)R\). Для дифференциалов будем иметь \[a(T)\dd{R}=\dd{r}-\dot{a}(T)\frac{r}{a(T)}\dd{T}\] и \[a(T)^2\frac{\dd{R}^2}{1-K R^2}=\frac{a(T)^2\dd{r}^2+\dot{a}(T)^2r^2\dd{T}^2-2\dot{a}(T)a(T)r\dd{r}\dd{T}}{a(T)^2-K r^2}\]
В результате метрика будет иметь вид \[\dd{s}^2=\frac{a(T)^2-K r^2-\dot{a}(T)^2r^2}{a(T)^2-K r^2}\dd{T}^2+\frac{2\dot{a}(T)a(T)r}{a(T)^2-K r^2}\dd{r}\dd{T}-\frac{a(T)^2}{a(T)^2-K r^2}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
Теперь избавимся от перекрёстного члена заменой \(T=F(t,r)\). Тогда будем иметь \[\dd{T}=\dot{F}(t,r)\dd{t}+F'(t,r)\dd{r},\] \[\dd{T}^2=\dot{F}(t,r)^2\dd{t}^2+F'(t,r)^2\dd{r}^2+2\dot{F}(t,r)F'(t,r)\dd{t}\dd{r},\] \[\left(a(T)^2-K r^2-\dot{a}(T)^2r^2\right)\dd{T}^2=\left(a(T)^2-K r^2-\dot{a}(T)^2r^2\right)\dot{F}(t,r)^2\dd{t}^2+\left(a(T)^2-K r^2-\dot{a}(T)^2r^2\right)F'(t,r)^2\dd{r}^2+\left(a(T)^2-K r^2-\dot{a}(T)^2r^2\right)2\dot{F}(t,r)F'(t,r)\dd{t}\dd{r},\label{cx1}\] \[2\dot{a}(T)a(T)r\dd{r}\dd{T}=2\dot{a}(T)a(T)r\dot{F}(t,r)\dd{r}\dd{t}+2\dot{a}(T)a(T)rF'(t,r)\dd{r}^2\label{cx2}\] Сопоставление последнего слагаемого в \eqref{cx1} с первым слагаемым в \eqref{cx2} даёт \[F'(t,r)=-\frac{\dot{a}(T)a(T)r}{a(T)^2-K r^2-\dot{a}(T)^2r^2}=-\frac{\dot{a}(T)}{a(T)}\frac{r}{1-\varrho(a(T))r^2}\] заметим, что \(a(T)\) зависит от \(F(t,r)\) в силу подстановки!
Подстановка всего этого в метрику даёт \[\dd{s}^2=\frac{a(T)^2-K r^2-\dot{a}(T)^2r^2}{a(T)^2-K r^2}\dot{F}(t,r)^2\dd{t}^2-\frac{a(T)^2}{a(T)^2-K r^2-\dot{a}(T)^2r^2}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\] Если учесть уравнение Фридмана \eqref{FE}, то можно получить \[\dd{s}^2=\frac{1-\varrho(a)r^2}{1-K r^2/a(T)^2}\dot{F}(t,r)^2\dd{t}^2-\frac{1}{1-\varrho(a)r^2}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\label{LRWS}\]
Отдельные случаи
Модель Милна
В этой модели отсутствуют ТЭ, ТМ и излучение. \[\varrho(a)=0\]
В этом случае из уравнения Фридмана \eqref{FE} имеем \[\dot{a}(T)^2+K=0,\] \[a(T)=a_0\pm\sqrt{-K}T,\] и \[F'(t,r)=-\frac{\pm\sqrt{-K}r}{a_0\pm\sqrt{-K}F(t,r)}\]
При \(K=0\) очевидным образом получаем метрику Минковского (с точностью до произвольного преобразования времени), при \(K=1\) решений нет, поэтому рассмотрим случай \(K=-1\) (псевдосфера). В этом случае имеем (для определённости возьмём "расширение") \[a(T)=a_0+T,\] \[F'(t,r)=-\frac{r}{a_0+F(t,r)},\] \[F(t,r)=-a_0\pm\sqrt{f(t)^2-r^2}\doteq\sqrt{t^2-r^2},\] \[a^2=t^2-r^2,\] \[\dot{F}(t,r)=\pm\frac{t}{a(t,r)}\]
И, наконец, метрика будет \[\dd{s}^2=\dd{t}^2-\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\] что снова даёт плоское ПВ (пространство-время).
Модель де Ситтера
Модель описывается постоянной плотностью ТЭ (при отсутствии ТМ, И и кривизны). \[K=0,\quad\varrho(a)=H^2\]
В этом случае из уравнения Фридмана \eqref{FE} имеем \[\dot{a}(T)=\pm\sqrt{\varrho}a(T)=\pm H a(T),\] \[a(T)=a_0e^{\pm H T},\] далее \[F'(t,r)=\pm\frac{H r}{1-H^2r^2},\] \[F(t,r)=f(t)\mp\frac{1}{2H}\ln(1-H^2r^2)\doteq t\mp\frac{1}{2H}\ln(1-H^2r^2)\]
Главное в предыдущей формуле то, что зависимость от времени выражается отдельным слагаемым, что означает, что в формуле \eqref{LRWS} можно просто опустить \(F(t,r)\). Тогда получим \[\dd{s}^2=(1-H^2r^2)\dd{t}^2-\frac{1}{1-H^2r^2}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
Вселенная излучения?
В этом случае вселенная заполнена излучением (И) и отсутствует всё остальное. \[K=0,\quad\varrho(a)=\frac{W^2}{a^4}\]
Из уравнения Фридмана \eqref{FE} будем иметь \[\dot{a}(T)=\frac{W}{a(T)},\] \[a(T)=\sqrt{2W T+a_0^2}\doteq\sqrt{2W T},\] \[\varrho=\frac{1}{4T^2},\] затем \[F'(t,r)=-\frac{2T r}{4T^2-r^2}\] и \[F(t,r)=\frac{1}{2}\left(f(t)\pm\sqrt{f(t)^2-r^2}\right)\doteq\frac{1}{2}\left(t+\sqrt{t^2-r^2}\right),\] \[\varrho=\frac{1}{2t^2-r^2+2t\sqrt{t^2-r^2}},\] \[\dot{F}(t,r)=\frac{t+\sqrt{t^2-r^2}}{2\sqrt{t^2-r^2}}=1+\frac{t-\sqrt{t^2-r^2}}{2\sqrt{t^2-r^2}}\]
Метрика получается следующего вида: \[\dd{s}^2=\left(1+\frac{t-\sqrt{t^2-r^2}}{2\sqrt{t^2-r^2}}\right)\dd{t}^2-\left(1+\frac{t-\sqrt{t^2-r^2}}{2\sqrt{t^2-r^2}}\right)\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2= \left(1+\frac{t-\sqrt{t^2-r^2}}{2\sqrt{t^2-r^2}}\right)\dd{t}^2-\frac{1}{1-\frac{r^2}{\left(t+\sqrt{t^2-r^2}\right)^2}}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\]
Что характерно, в стандартных координатах метрика не зависит от плотности энергии...
Модель Эйнштейна-де Ситтера
В этой модели присутствует пыль (ТМ) и отсутствует всё остальное. \[K=0,\quad\varrho(a)=\frac{D^2}{a^3}\]
Тогда из \eqref{FE} имеем \[\dot{a}(T)=\frac{D}{\sqrt{a(T)}},\] \[a(T)=\left(\frac{3D}{2}T+a_0^{3/2}\right)^{2/3}\doteq\left(\frac{3DT}{2}\right)^{2/3},\] \[\varrho=\frac{4}{9T^2},\] \[F'(t,r)=-\frac{6T r}{9T^2-4r^2}\] и \[F(t,r)=\pm\frac{D r}{\sqrt{-W(-D^2r^2f(t))}},\] \[\dot{F}(t,r)=\mp\frac{D r\dot{f}(t)}{2f(t)\sqrt{-W(-D^2r^2f(t))}(W(-D^2r^2f(t))+1)}\]