Общие соотношения

Используются геометрические (временные) единицы (\(c=G=1\)). Аксиальный угол отсчитывается от экватора: \(\dd{\mathbf\Omega}^2=\dd{\theta}^2+cos^2\theta\dd{\varphi}^2\).

В остальном, основные обозначения будут соответствовать ЛЛ. Используется метрика с сигнатурой \(\left(+---\right)\). Латинские индексы используются для обозначения компонент четырёхмерных величин. Если выбрана система координат с собственными именами (например, (\(t,r,\theta,\varphi\))), то для обозначения индивидуальных компонент будут использоваться имена координат в качестве индексов. Например, \(\dd{s}^2=g_{ij}\dd{x^i}\dd{x^j}=\dd{t}^2+g_{t\varphi}\dd{t}\dd{\varphi}-g_{rr}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2\). Замена координат обозначается "штрихами" над индексами.

Поднятие и опускание индексов "тензором по умолчанию" будет избегаться (в общем случае фундаментальный тензор может отличаться от метрического). Кроме того, обратный тензор и детерминант будут обозначаться явно - ничемподчёркиваниемшапочкой и ничембоксомгалочкой соответственно: \(\inv{g}^{ij}:\inv{g}^{ij}g_{jk}=\delta^i_k\) и \(\dtm{g}\).

Симметризация по паре индексов обозначается круглыми скобками \(A_{(ij)}\doteq\frac{1}{2}(A_{ij}+A_{ji})\), антисимметризация - квадратными \(A_{[ij]}\doteq\frac{1}{2}(A_{ij}-A_{ji})\), фигурными скобками (при однозначном указании фундаментального тензора) будет обозначаться "отражение следа" \(A_{\{ij\}}\doteq A_{ij}-\frac{1}{2}g_{ij}\inv{g}^{kl}A_{kl}\).

Производная тензора по координате будет обозначаться запятой, а ковариантная производная - точкой с запятой: \(A^i_{;l}\doteq A^i_{,l}+\Gamma^i_{kl}A^k\), где \(\Gamma^i_{kl}\) - аффинная связность. Если имеется кривая (параметризованная аффинным параметром \(\lambda\)), то аффинная связность позволяет определить "вектор кривизны" \(a^i\doteq u^ku^i_{;k}\), где \(u^i\doteq \ddfs{x^i}{\lambda}\) - касательный вектор к кривой (если в качестве параметра выбрано собственное время или собственная длина, то введённые вектора называются ускорением и скоростью соответственно). Приравнивание нулю вектора кривизны даёт уравнение геодезической.

Тензор Римана (кривизны) вводится в виде \(R^i_{klm}\doteq\Gamma^i_{km,l}-\Gamma^i_{kl,m}+\Gamma^i_{nl}\Gamma^n_{km}-\Gamma^i_{nm}\Gamma^n_{kl}\), что соответствует "натуральному" выражению для двойной производной для ковектора: \(A_{i;k;l}-A_{i;l;k}=A_mR^m_{ikl}\). Тензор Риччи задаётся как \(R_{ik}\doteq R^l_{ilk}\).

В частном случае ОТО фундаментальный и метрический тензоры совпадают, а аффинная связность является связностью Леви-Чевита: \(\Gamma^i_{kl}=\frac{1}{2}\inv{g}^{im}(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m})\). Оказывается удобным определить (использовать) "символы Кристоффеля первого рода": \(\Gamma_{ikl}\doteq g_{in}\Gamma^n_{kl}=\frac{1}{2}(g_{ik,l}+g_{il,k}-g_{kl,i})\). Тогда \(R^i_{klm}=\inv{g}^{in}\left(\frac{1}{2}(g_{nm,k,l}+g_{kl,n,m}-g_{km,n,l}-g_{nl,k,m})+g_{qp}(\Gamma^q_{nm}\Gamma^p_{kl}-\Gamma^q_{nl}\Gamma^p_{km})\right)\) и \(R_{iklm}\doteq g_{ij}R^j_{klm}=\frac{1}{2}(g_{im,k,l}+g_{kl,i,m}-g_{km,i,l}-g_{il,k,m})+\inv{g}^{pq}(\Gamma_{pim}\Gamma_{qkl}-\Gamma_{pil}\Gamma_{qkm})\).

Уравнение Эйнштейна будет \(R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}\inv{g}^{lm}R_{lm}+\Lambda g_{ik}=8\pi g_{im}g_{kn}T^{mn}\).

Малые поправки

Рассмотрим дифференцируемое многообразие и два метрических тензора, заданных на нём: \(\bar{g}_{ij}\) и \(g_{ij}=\bar{g}_{ij}+h_{ij}\), где все компоненты (и производные) тензора \(h_{ij}\ll1\). Далее все величины с чертой сверху или без неё будут относиться к соответствующему метрическому тензору. Поднятие и опускание индексов будет делаться в технических целях экономии индексов и исключительно тензором \(\bar{g}\). В частности, \(h^{ij}\doteq\bar{\inv{g}}^{ik}\bar{\inv{g}}^{jl}h_{kl}\), \(h^i_j\doteq\bar{\inv{g}}^{ik}h_{kj}\) и \(h\doteq\bar{\inv{g}}^{ij}h_{ij}\). Кроме того, введём обозначение \(\gamma_{ikl}\doteq\frac{1}{2}(h_{ik,l}+h_{il,k}-h_{kl,i})\).

Найдём "поправки" для детерминанта и обратной матрицы рассматривая их как функции \(h_{ij}\) (будем обозначать частную производную по \(h_{ij}\) как \(A^{|ij}\)). Для этого заметим, что \[g_{ij}^{|kl}=\delta^k_i\delta^l_j,\] \[\dtm{g}^{|ij}=\dtm{g}\inv{g}^{ij}\] и \[\inv{g}^{ij|kl}=\delta^i_m\inv{g}^{mj|kl}=\inv{g}^{iq}g_{mq}\inv{g}^{mj|kl}=-\inv{g}^{iq}\inv{g}^{mj}g_{mq}^{|kl}=-\inv{g}^{ik}\inv{g}^{jl}.\] Тогда \[\dtm{g}=\bar{\dtm{g}}+\dtm{g}^{|ij}h_{ij}+\frac{1}{2!}\dtm{g}^{|ij|kl}h_{ij}h_{kl}+\ldots=\\ =\bar{\dtm{g}}\left\{ 1+\bar{\inv{g}}^{ij}h_{ij}+\frac{1}{2}(\bar{\inv{g}}^{ij}\bar{\inv{g}}^{kl}-\bar{\inv{g}}^{jk}\bar{\inv{g}}^{li})h_{ij}h_{kl}+ \frac{1}{6}(\bar{\inv{g}}^{ij}\bar{\inv{g}}^{kl}\bar{\inv{g}}^{mn}-3\bar{\inv{g}}^{jk}\bar{\inv{g}}^{li}\bar{\inv{g}}^{mn} +2\bar{\inv{g}}^{jk}\bar{\inv{g}}^{lm}\bar{\inv{g}}^{ni})h_{ij}h_{kl}h_{mn}+O(h^4)\right\}=\\ =\bar{\dtm{g}}\left\{1+h+\frac{1}{2}h^2-\frac{1}{2}h^k_ih^i_k+\frac{1}{6}h^3-\frac{1}{2}h^k_ih^i_kh+\frac{1}{3}h^k_ih^m_kh^i_m+O(h^4)\right\}.\] Аналогично \[\inv{g}^{ij}=\bar{\inv{g}}^{ij}-\bar{\inv{g}}^{ik}\bar{\inv{g}}^{jl}h_{kl}+\frac{1}{2}(\bar{\inv{g}}^{im}\bar{\inv{g}}^{kn}\bar{\inv{g}}^{jl}+\bar{\inv{g}}^{ik}\bar{\inv{g}}^{jm}\bar{\inv{g}}^{ln})h_{kl}h_{mn}+\ldots=\\ =\bar{\inv{g}}^{ij}-\bar{\inv{g}}^{ik}\bar{\inv{g}}^{lj}h_{kl}+\bar{\inv{g}}^{ik}\bar{\inv{g}}^{lm}\bar{\inv{g}}^{nj}h_{kl}h_{mn} -\bar{\inv{g}}^{ik}\bar{\inv{g}}^{lm}\bar{\inv{g}}^{np}\bar{\inv{g}}^{qj}h_{kl}h_{mn}h_{pq}+O(h^4)=\\ =\bar{\inv{g}}^{ij}-h^{ij}+h^{im}h^j_m-h^{im}h^p_mh^j_p+O(h^4).\]

Выразим теперь аффинную связность (символы Кристоффеля первого рода) \[\Gamma_{ikl}=\frac{1}{2}(g_{ik,l}+g_{il,k}-g_{kl,i})=\bar{\Gamma}_{ikl}+\gamma_{ikl}\] и четыреждыковариантный тензор Римана \[R_{iklm}=\frac{1}{2}(\bar{g}_{im,k,l}+\bar{g}_{kl,i,m}-\bar{g}_{km,i,l}-\bar{g}_{il,k,m})+\frac{1}{2}(h_{im,k,l}+h_{kl,i,m}-h_{km,i,l}-h_{il,k,m}) +\inv{g}^{pq}((\bar{\Gamma}_{pim}+\gamma_{pim})(\bar{\Gamma}_{qkl}+\gamma_{qkl})-(\bar{\Gamma}_{pil}+\gamma_{pil})(\bar{\Gamma}_{qkm}+\gamma_{qkm}))\]

Линеаризация

Пусть у нас есть некоторое решение уравнений Эйнштейна в виде