Времениподобная поверхность

Предполагается, что в ПВ имеется времениподобная (гладкая) поверхность \(\Sigma\), разделяющая ПВ на две области \(M_+\) и \(M_-\) в каждой из которых заданы различные системы координат \(X_+^i\) и \(X_-^i\). Требованием, связывающим эти СК, является совпадение метрик, индуцированных из каждой области на \(\Sigma\).

Считаем, что поверхность \(\Sigma\) параметризована внутренними координатами \(\zeta^\alpha\) и, соответственно, \[X_\pm^i=X_\pm^i(\zeta^\alpha)\]

Тогда, касательные вектора задаются соотношениями \[{e_\pm}_\alpha^i=\dpfs{X_\pm^i}{\zeta^\alpha}\label{covect}\]

Скалярное произведение этих векторов определяет индуцированную на поверхности метрику (первая фундаментальная форма) \[{g_\pm}_{\alpha\beta}={g_\pm}_{ij}{e_\pm}_\alpha^i{e_\pm}_\beta^j\label{metc}\]

Обе метрики должны совпадать в каждой точке поверхности \(\Sigma\): \({g_+}_{\alpha\beta}(\zeta)={g_-}_{\alpha\beta}(\zeta)=g_{\alpha\beta}(\zeta)\)

Тензор внешней кривизны (вторая фундаментальная форма) определяется через единичный ковектор \(n\), нормальный к поверхности, следующим образом \[K_{\alpha\beta}={n_i}_{;j}e_\alpha^ie_\beta^j=-n_i{e_\alpha^i}_{;j}e_\beta^j\]

Тензор энергии-импульса поверхности (трёхмерный!) определяется через скачок тензора кривизны поверхности \([K_{\alpha\beta}]={K_+}_{\alpha\beta}-{K_-}_{\alpha\beta}\) и \([K]=g^{\alpha\beta}[K_{\alpha\beta}]\) уравнением Ланцоша (Lánczos) \[S_{\alpha\beta}=\frac{1}{8\pi}\left([K_{\alpha\beta}]-g_{\alpha\beta}[K]\right)\label{Lanczos}\]

Последнее соотношение позволяет придать "физически осмысленный вид" задаче. В частности, "просто поверхность" должна иметь нулевой \(S_{\alpha\beta}\) и, соответственно, нулевой \([K_{\alpha\beta}]\), то есть совпадающие тензоры внешней кривизны.

Изотропная поверхность

Пространственноподобная поверхность

Полностью аналогична случаю времиниподобной поверхности, за исключением того, что квадрат длины вектора \(n\) имеет противоположный знак и по этой причине меняется знак у уравнении Ланцоша \eqref{Lanczos}. Последнее, правда, совсем не имеет значения, так как трудно вообразить физическую задачу, в которой этот тензор будет отличен от 0. Разве что какая-нибудь экзотика типа "фазового перехода вакуума".

Взаимодействие пробных частиц с поверхностью

Обозначим 4-скорость частицы через \(U_\pm^i\). Считая, что частица взаимодействует с поверхностью только гравитационно, будем иметь следующие условия на скорость частицы при пересечении поверхности \[U_+^i{n_+}_i=U_-^i{n_-}_i\label{Un}\] и \[{g_+}_{ij}{U_+}^i{e_+}_\alpha^j={g_-}_{ij}{U_-}^i{e_-}_\alpha^j\label{Ue}\] Эти уравнения означают, что с точки зрения наблюдателя на сфере частица пролетает сквозь сферу без "искажения" траектории.

Столкновение двух поверхностей