Траектории в метрике Шварцшильда-де Ситтера

Будет рассмотрено несколько задач связанных с собственным ускорением, измеряемыми скоростью и ускорением, приливным ускорением, обменом сигналами.

Будут использоваться стандартные координаты, метрика Шварцшильда-де Ситтера, соглашения \(c=1\) и \(G=1\). \(_{,i}\) обозначает частную производную по координате \(x^i\), а \(_{;i}\) - ковариантную производную. В "матричном представлении" первый/верхний индекс нумерует строки, второй/нижний - столбцы. "Аксиальный" угол отсчитывается от экватора.

Введение

Математика ПВ

"Главная" функция

Введём функцию \(f(r)=1-\frac{2M}{r}-H^2r^2\). Формулы, выписанные с использованием этой функции, могут быть получены в указанном виде без знания самой функции.

Ввиду "важности" этой функции перепишем её в ином виде (используя, когда надо \(\mu=\sqrt{27}MH\ll1\)): \[f(r)=\frac{\hat{f}(r)}{r}=\frac{r-2M-H^2r^3}{r}=\frac{H^2(r-r_-)(r-r_g)(r_h-r)}{r}=\frac{(Hr-\rho_-)(r-r_g)(\rho_h-Hr)}{r},\] где

\(\displaystyle r_g=\frac{2}{\sqrt{3}H}\sin\frac{\arcsin(\mu)}{3}\approx2M(1+(2MH)^2+3(2MH)^4+12(2MH)^6+55(2MH)^8)\)- "гравитационный радиус" или радиус "внутреннего горизонта",
\(\displaystyle r_h=\frac{\rho_h}{H}=\frac{2}{\sqrt{3}H}\cos\frac{\arccos(-\mu)}{3}\approx-\frac{r_g}{2}+\frac{1}{H}-M(\frac{3}{2}MH+\frac{105}{8}(MH)^3+\frac{3003}{16}(MH)^6)\)- "космологический радиус" или радиус "внешнего горизонта",
\(\displaystyle r_-=\frac{\rho_-}{H}=-\frac{2}{\sqrt{3}H}\cos\frac{\arccos(\mu)}{3}\approx-\frac{r_g}{2}-\frac{1}{H}+M(\frac{3}{2}MH+\frac{105}{8}(MH)^3+\frac{3003}{16}(MH)^6)\)- "антикосмологический радиус" (всегда меньше 0),
(\(r_g+r_h+r_-=0\))

При этом при любых \(\mu\) имеем \[H^3(r_h-r_-)(r_g-r_-)(r_h-r_g)=2\sqrt{1-\mu^2}\] А так же, при \(\mu\rightarrow0\) имеем \(r_g\rightarrow2M,\ \rho_h\rightarrow1,\ \rho_-\rightarrow-1\).

Метрический тензор

Выпишем основные соотношения метрики Шварцшильда-де Ситтера: \[\dd{s}^2=f(r)\dd{t}^2-f(r)^{-1}\dd{r}^2-r^2\dd{\Omega}^2\] \[g_{tt}=f(r)=1-\frac{2M}{r}-H^2r^2,\;g_{rr}=-f(r)^{-1}=-\frac{1}{1-\frac{2M}{r}-H^2r^2},\;g_{\theta\theta}=-r^2,\;g_{\varphi\varphi}=-r^2\cos^2\theta\] \[g^{tt}=f(r)^{-1}=\frac{1}{1-\frac{2M}{r}-H^2r^2},\;g^{rr}=-f(r)=-1+\frac{2M}{r}+H^2r^2,\;g^{\theta\theta}=-\frac{1}{r^2},\;g^{\varphi\varphi}=-\frac{1}{r^2\cos^2\theta}\] \[g=-r^4\cos^2\theta,\;\sqrt{-g}=r^2\cos\theta\] \[g_{tt,r}=f'(r)=\frac{2M}{r^2}-2H^2r,\;g_{rr,r}=\frac{f'(r)}{f(r)^2}=\frac{\frac{2M}{r^2}-2H^2r}{\left(1-\frac{2M}{r}-H^2r^2\right)^2},\\ g_{\theta\theta,r}=-2r,\;g_{\varphi\varphi,r}=-2r\cos^2\theta,\;g_{\varphi\varphi,\theta}=2r^2\cos\theta\sin\theta\] \[g_{tt,r,r}=f''(r)=-\frac{4M}{r^3}-2H^2,\;g_{rr,r,r}=\frac{f''(r)f(r)-2f'(r)^2}{f(r)^3}=\frac{-4\frac{M}{r^3}+24\frac{MH^2}{r}-2H^2-6H^4r^2}{\left(1-\frac{2M}{r}-H^2r^2\right)^3},\\ g_{\theta\theta,r,r}=-2,\;g_{\varphi\varphi,r,r}=-2\cos^2\theta,\;g_{\varphi\varphi,r,\theta}=4r\cos\theta\sin\theta,\;g_{\varphi\varphi,\theta,\theta}=2r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)\]

Центральные 3-повороты

Афинная связность, символы Кристоффеля

\[A^i_{;j}=A^i_{,j}+\Gamma^i_{jk}A^k\] \[\Gamma^i_{jk}=\frac{1}{2}g^{il}(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l})\]

От контравариантного индекса

\[\Gamma^t_{ij}=\Bmatrix{0&\frac{f'(r)}{2f(r)}&0&0\\\frac{f'(r)}{2f(r)}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}\\ \Gamma^r_{ij}=\Bmatrix{\frac{f(r)f'(r)}{2}&0&0&0\\0&-\frac{f'(r)}{2f(r)}&0&0\\0&0&-rf(r)&0\\0&0&0&-rf(r)\cos^2\theta}\\ \Gamma^\theta_{ij}=\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&\frac{1}{r}&0\\0&\frac{1}{r}&0&0\\0&0&0&\cos\theta\sin\theta}\\ \Gamma^\varphi_{ij}=\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&\frac{1}{r}\\0&0&0&-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\0&\frac{1}{r}&-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}&0}\]

От ковариантного индекса

\[\Gamma^i_{jt}=\Bmatrix{0&\frac{f'(r)}{2f(r)}&0&0\\\frac{f(r)f'(r)}{2}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}\\ \Gamma^i_{jr}=\Bmatrix{\frac{f'(r)}{2f(r)}&0&0&0\\0&-\frac{f'(r)}{2f(r)}&0&0\\0&0&\frac{1}{r}&0\\0&0&0&\frac{1}{r}}\\ \Gamma^i_{j\theta}=\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&-rf(r)&0\\0&\frac{1}{r}&0&0\\0&0&0&-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}}\\ \Gamma^i_{j\varphi}=\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&-rf(r)\cos^2\theta\\0&0&0&\cos\theta\sin\theta\\0&\frac{1}{r}&-\frac{\sin\theta}{\cos\theta}&0}\]

Тензор кривизны Римана

\[A^i_{;j;k}-A^i_{;k;j}=-R^i_{ljk}A^l\] \[R^i_{jkl}=\Gamma^i_{jl,k}-\Gamma^i_{jk,l}+\Gamma^i_{km}\Gamma^m_{jl}-\Gamma^i_{lm}\Gamma^m_{jk}\]

\[R_{ijkl}=g_{im}R^m_{jkl}=\frac{1}{2}(g_{il,j,k}+g_{jk,i,l}-g_{jl,i,k}-g_{ik,j,l})+g_{qp}(\Gamma^q_{il}\Gamma^p_{jk}-\Gamma^q_{jl}\Gamma^p_{ik})\]

Матрицы по последним двум индексам

\[R_{trij}=-R_{rtij}=\Bmatrix{0&-\frac{1}{2}f''(r)&0&0\\\frac{1}{2}f''(r)&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}\\ R_{t\theta ij}=-R_{\theta tij}=\Bmatrix{0&0&-\frac{1}{2}rf(r)f'(r)&0\\0&0&0&0\\\frac{1}{2}rf(r)f'(r)&0&0&0\\0&0&0&0}\\ R_{t\varphi ij}=-R_{\varphi tij}=\Bmatrix{0&0&0&-\frac{1}{2}rf(r)f'(r)\cos^2\theta\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\frac{1}{2}rf(r)f'(r)\cos^2\theta&0&0&0}\\ R_{r\theta ij}=-R_{\theta rij}=\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&r\frac{f'(r)}{2f(r)}&0\\0&-r\frac{f'(r)}{2f(r)}&0&0\\0&0&0&0}\\ R_{r\varphi ij}=-R_{\varphi rij}=\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&r\frac{f'(r)}{2f(r)}\cos^2\theta\\0&0&0&0\\0&-r\frac{f'(r)}{2f(r)}\cos^2\theta&0&0}\\ R_{\theta\varphi ij}=-R_{\varphi\theta ij}=\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&(f(r)-1)r^2\cos^2\theta\\0&0&-(f(r)-1)r^2\cos^2\theta&0} \]

Принципиальные ненулевые компоненты списком

\[R_{trtr}=-\frac{1}{2}f''(r)=\frac{2M}{r^3}+H^2\\ R_{t\theta t\theta}=\frac{R_{t\varphi t\varphi}}{\cos^2\theta}=-\frac{1}{2}rf(r)f'(r)=-\left(1-\frac{2M}{r}-H^2r^2\right)\left(\frac{M}{r}-H^2r^2\right)\\ R_{r\theta r\theta}=\frac{R_{r\varphi r\varphi}}{\cos^2\theta}=r\frac{f'(r)}{2f(r)}=\frac{\frac{M}{r}-H^2r^2}{1-\frac{2M}{r}-H^2r^2}\\ R_{\theta\varphi\theta\varphi}=(f(r)-1)r^2\cos^2\theta=-r^2\left(\frac{2M}{r}+H^2r^2\right)\cos^2\theta\]

Матрицы по двум внутренним индексам (фигурные скобки вокруг индексов обозначают группировку во внутренние матрицы)

\[2R_{i\{jk\}l}=\pmatrix{ \Bmatrix{0&0&0&0\\0&f''(r)&0&0\\0&0&rf(r)f'(r)&0\\0&0&0&rf(r)f'(r)\cos^2\theta}&\Bmatrix{0&0&0&0\\-f''(r)&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}&\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\-rf(r)f'(r)&0&0&0\\0&0&0&0}&\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\-rf(r)f'(r)\cos^2\theta&0&0&0}\\ \Bmatrix{0&-f''(r)&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}&\Bmatrix{f''(r)&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&-r\frac{f'(r)}{f(r)}&0\\0&0&0&-r\frac{f'(r)}{f(r)}\cos^2\theta}&\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&r\frac{f'(r)}{f(r)}&0&0\\0&0&0&0}&\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&r\frac{f'(r)}{f(r)}\cos^2\theta&0&0}\\ \Bmatrix{0&0&-rf(r)f'(r)&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}&\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&r\frac{f'(r)}{f(r)}&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}&\Bmatrix{rf(r)f'(r)&0&0&0\\0&-r\frac{f'(r)}{f(r)}&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-2(f(r)-1)r^2\cos^2\theta}&\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&2(f(r)-1)r^2\cos^2\theta&0}\\ \Bmatrix{0&0&0&-rf(r)f'(r)\cos^2\theta\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0}&\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&r\frac{f'(r)}{f(r)}\cos^2\theta\\0&0&0&0\\0&0&0&0}&\Bmatrix{0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&2(f(r)-1)r^2\cos^2\theta\\0&0&0&0}&\Bmatrix{rf(r)f'(r)\cos^2\theta&0&0&0\\0&-r\frac{f'(r)}{f(r)}\cos^2\theta&0&0\\0&0&-2(f(r)-1)r^2\cos^2\theta&0\\0&0&0&0} }\]

Тензор Риччи и т.п.

Тензор Риччи \[R_{ij}=R^k_{ikj}=g^{kl}R_{ikjl}\] \[R^i_j=g^{im}R_{mj}=g^{im}g^{kl}R_{mkjl}=g^{kl}R^i_{kjl}=-g^{kl}R^i_{klj}\] \[R^i_j=\pmatrix{\frac{f''(r)}{2}+\frac{f'(r)}{r}&0&0&0\\0&\frac{f''(r)}{2}+\frac{f'(r)}{r}&0&0\\0&0&\frac{f'(r)}{r}+\frac{f(r)-1}{r^2}&0\\0&0&0&\frac{f'(r)}{r}+\frac{f(r)-1}{r^2}}\] \[R^t_t=R^r_r=R^\theta_\theta=R^\varphi_\varphi=-3H^2\] "Замечательный" факт пропорциональности смешанного тензора Риччи единичной матрице проистекает из уравнения \((r^x)''=2r^{x-2}\) или \(x(x-1)=2\), которое имеет два корня: \(x=-1,\;x=2\)...

Скалярная кривизна \[R=R^i_i\] \[R=2\frac{f''(r)}{2}+4\frac{f'(r)}{r}+2\frac{f(r)-1}{r^2}=-12H^2\]

Тензор Эйнштейна \[G^{ij}=R^{ij}-\frac{1}{2}g^{ij}R\] \[G^i_j=G^{ik}g_{kj}=R^i_j-\frac{1}{2}\delta^i_jR\] \[G^i_j=\pmatrix{-\frac{f'(r)}{r}-\frac{f(r)-1}{r^2}&0&0&0\\0&-\frac{f'(r)}{r}-\frac{f(r)-1}{r^2}&0&0\\0&0&-\frac{f''(r)}{2}-\frac{f'(r)}{r}&0\\0&0&0&-\frac{f''(r)}{2}-\frac{f'(r)}{r}}=3H^2\delta^i_j\]

Геодезические и девиации

Геодезические

Пусть задана линия (кривая), зависящая от параметра \(x^i(\xi)\). Обозначим касательный вектор \(\xi^i=\dpfs{x^i(\xi)}{\xi}\). Будем обозначать через \(\dDf{\xi}{{\bf{X}}}=\xi^i{\bf{X}}_{;i}\) оператор дифференцирования произвольного объекта \(\bf{X}\) вдоль этой кривой. Также введём обозначение (искренне надеюсь, что не будет путаницы с квадратом параметра \(\xi\)) \[\xi^2=\xi_i\xi^i=f(r){\xi^t}^2-\frac{1}{f(r)}{\xi^r}^2-r^2{\xi^\theta}^2-r^2\cos^2\theta{\xi^\varphi}^2\]

Рассмотрим вектор "кривизны" \(\varkappa^i=\dDf{\xi}{{\xi^i}}=\xi^k{\xi^i}_{;k}=\xi^k{\xi^i}_{,k}+\Gamma^i_{jk}\xi^j\xi^k=\dpfs{\xi^i}{\xi}+\Gamma^i_{jk}\xi^j\xi^k\). Линия является геодезической, если параллельный перенос вдоль кривой касательного к ней вектора даёт вектор, параллельный касательному, то есть: \[\varkappa^i=\dpfs{\xi^i}{\xi}+\Gamma^i_{jk}\xi^k\xi^k=\kappa(\xi)\xi^i.\label{geod}\] При "репараметризации" кривой \(\sigma=w(\xi)\) имеем \[\dpf{\sigma}{\sigma^i}+\Gamma^i_{jk}\sigma^j\sigma^k=\frac{\kappa(\xi)w'(\xi)-w''(\xi)}{{w'(\xi)}^2}\sigma^i=\bar\kappa(\sigma)\sigma^i.\] В частности, можно добиться \(\bar\kappa(\sigma)\equiv0\). Соответствующий параметр называется аффинным. При этом \(\xi^2=const\) и, следовательно, \(\varkappa^i\xi_i=0\).

Будем называть параметр аффинным и в случае произвольной кривой если касательный вектор сохраняет длину (такая кривая не может менять свой тип). В случае когда квадрат длины касательного вектора равен \(\pm1\), аффинный параметр является собственным временем/длиной.

Выпишем в явном виде уравнения: \[\varkappa^i=\pmatrix{{\xi^t}'+\frac{f'(r)}{f(r)}\xi^t\xi^r\\ {\xi^r}'+\frac{f'(r)f(r)}{2}{\xi^t}^2-\frac{f'(r)}{2f(r)}{\xi^r}^2-\frac{f(r)}{r}r^2{\xi^\theta}^2-\frac{f(r)}{r}r^2\cos^2\theta{\xi^\varphi}^2\\ {\xi^\theta}'+\frac{2}{r}\xi^r\xi^\theta+\cos\theta\sin\theta{\xi^\varphi}^2\\ {\xi^\varphi}'+\frac{2}{r}\xi^r\xi^\varphi-2\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\xi^\theta\xi^\varphi} \]

Девиация

Пусть нам задана 2-поверхность, параметризованная параметрами \(x^i(\xi,\eta)\). Дополнительно и по аналогии предыдущему пункту введём \(\eta^i=\dpfs{x^i}{\eta}\). Заметим, что \[\dpfs{\xi^i}{\eta}=\dpfs{\eta^i}{\xi}\] и \[\xi^i_{,k}{\eta^k}=\eta^i_{,k}\xi^k\] и \[\xi^i_{;k}{\eta^k}=\eta^i_{;k}\xi^k\]

Рассмотрим производные \[\dDfs{\eta^i}{\xi}=\xi^k\eta^i_{;k}=\xi^i_{;k}\eta^k\label{geodev_}\] и \[\dDsfs{\eta^i}{\xi}=\xi^j(\xi^k\eta^i_{;k})_{;j}=\xi^j(\xi^i_{;k}\eta^k)_{;j}=\xi^j\xi^i_{;k;j}\eta^k+\xi^j\xi^i_{;k}\eta^k_{;j}=\\ (\xi^i_{;j;k}+R^i_{ljk}\xi^l)\xi^j\eta^k+\xi^i_{;l}\xi^l_{;k}\eta^k=(\xi^i_{;j}\xi^j)_{;k}\eta^k+R^i_{ljk}\xi^l\xi^j\eta^k=(\varkappa^i_{;k}+R^i_{ljk}\xi^l\xi^j)\eta^k.\label{geodev}\] Если линии \(\eta=const\) являются геодезическими, то предыдущее уравнение называется "уравнением геодезического отклонения", а в случае когда \(\xi\) является аффинным параметром первое слагаемое зануляется.

Выпишем компоненты второго слагаемого в явном виде \[R^i_{ljk}\xi^l\xi^j=\\=\frac{1}{2}\pmatrix{ -\frac{rf''(r)-f'(r)}{r}\xi^r\xi_r&\frac{rf''(r)-f'(r)}{r}\xi^t\xi_r&0&0\\ \frac{rf''(r)-f'(r)}{r}\xi_t\xi^r&-\frac{rf''(r)-f'(r)}{r}\xi^t\xi_t&0&0\\ 0&0&-\frac{2(f(r)-1)-rf'(r)}{r^2}\xi^\varphi\xi_\varphi&\frac{2(f(r)-1)-rf'(r)}{r^2}\xi^\theta\xi_\varphi\\ 0&0&\frac{2(f(r)-1)-rf'(r)}{r^2}\xi_\theta\xi^\varphi&-\frac{2(f(r)-1)-rf'(r)}{r^2}\xi^\theta\xi_\theta }+\frac{f'(r)}{2r}\left(\xi^i\xi_k-\delta^i_k\xi^2\right)=\\=\frac{3M}{r^3} \pmatrix{ \xi^r\xi_r&-\xi^t\xi_r&0&0\\ -\xi_t\xi^r&\xi^t\xi_t&0&0\\ 0&0&\xi^\varphi\xi_\varphi&-\xi^\theta\xi_\varphi\\ 0&0&-\xi_\theta\xi^\varphi&\xi^\theta\xi_\theta }+\left(\frac{M}{r^3}-H^2\right)\left(\xi^i\xi_k-\delta^i_k\xi^2\right)\]

Частицы и наблюдатели

Частицы

Рассмотрим произвольную времениподобную траекторию "частицы", параметризованную собственным временем этой частицы \(x^i(\tau)\). Параметризация собственным временем означает, в частности, что длина вектора скорости \(u^i(\tau)=\dot{x^i}(\tau)=\ddf{\tau}{x^i(\tau)}\) равна 1. Собственное ускорение частицы даётся формулой \(a^i=\dDfs{u^i}{\tau}=u^ku^i_{;k}=\dot{u^i}+\Gamma^i_{jk}u^ju^k\). Напомним, что \(u_ia^i=0\).

Также будем рассмотривать однопараметрический "поток" частиц, то есть \(x^i(\tau,\eta)\), где \(\tau\) по прежнему собственное время вдоль траектории частиц, а \(\eta\) гладким образом "нумерует" частицы. Вектор \(\eta^i=\dpfs{x^i}{\eta}\) задаёт направление на соседнюю (бесконечно-близкую) частицу в "тот же самый" момент времени \(\tau\).

Наблюдатели

Рассмотрим, также, некоего "наблюдателя" с траекторией \(y^i(\tilde\tau)\) и скоростью \(n^i=\dot{y^i}(\tilde\tau)\) (будем обозначать его собственное ускорение \(g^i=n^kn^i_{;k}\)). Введём "оператор проектирования" \(h^i_j=\delta^i_j-n^in_j\) (заметим, что для любого вектора \(h^i_jA^jn_i=0\)).

Пусть траектории наблюдателя и частицы пересекаются в некой точке ПВ. Тогда в этой точке уместно определить "с точки зрения наблюдателя" скорость частицы следующим образом (напомним, что вектора \(n^i\) и \(u^i\) единичны): \[\tilde\gamma=u^in_i\] \[v^i=h^i_ju^j=u^i-n^in_ju^j=u^i-\tilde\gamma n^i\] \[v^2=-\frac{v^iv_i}{\tilde{\gamma}^2}=-\frac{1-\tilde{\gamma}^2}{\tilde{\gamma}^2}=1-\frac{1}{\tilde{\gamma}^2}\] или \[u^i=\tilde\gamma\left(n^i+v\frac{v^i}{v\tilde\gamma}\right)=\tilde\gamma\left(n^i+v\nu^i\right)\] (естественно, что если скорости наблюдателя и частицы при этом совпадают, то вектор \(\nu^i\) определён неоднозначно).

Сигналы

Рассматривая обмен сигналами между двумя наблюдателями или зондирование частиц наблюдателем, мы предположим только, что уравнения распространения сигналов не зависят от движения наблюдателей/частиц. То есть, если один наблюдатель выпустит сигнал "в сторону" второго, а в момент прохождения мимо второй наблюдатель выпустит сигнал "в ту же сторону", то траектории сигналов совпадут. Проще всего, конечно, при этом рассматривать обмен световыми сигналами, что мы и будем делать. Но это не принципиально.

Следующее замечание относится к тому факту, что в статическом (и даже в стационарном) ПВ естественно считать, что уравнения движения сигналов не зависят от координаты \(t\), и для световых сигналов это снова верно.

Радиальные изотропные геодезические.

Радиальные световые сигналы представляют важный частный случай. Поэтому рассмотрим их отдельно и подробно.

Под радиальной траекторией будем понимать случай \(\xi^\theta=0,\ \xi^\varphi=0\). Изотропность означает \(\xi^2=0\). Отсюда получаем \[f(r)\xi^t=\pm\xi^r\]

Для вычисления геодезической распишем покомпонентно уравнение \eqref{geod}: \[\varkappa^t={\xi^t}'+\frac{f'(r)}{f(r)}\xi^t\xi^r={\xi^t}'\pm f'(r){\xi^t}^2=\kappa\xi^t\\ \varkappa^r={\xi^r}'=\kappa\xi^r\\ \varkappa^\theta={\xi^\theta}'=0,\ \varkappa^\varphi={\xi^\varphi}'=0.\] Последние два уравнения означают, что "условие радиальности" совместимо с "геодезичностью". А первое следует из второго и изотропности: \[{\xi^r}'=\pm(f(r)\xi^t)'=\pm{\xi^t}'f(r)\pm f'(r)\xi^r\xi^t=\pm f(r){\xi^t}'+f(r)f'(r){\xi^t}^2=\pm\kappa f(r)\xi^t,\] что означает, что "изотропность" тоже совместима с "геодезичностью".

Таким образом, всё сводится к "решению" уравнения \({\xi^r}'=\kappa(\xi)\xi^r\). Некоторая "проблема" состоит в том, что, по сути, это одно уравнение для двух функций \(\xi^r(\xi)\) и \(\kappa(\xi)\). Однако, как было указано выше, \(\kappa\) "отвечает" лишь за репараметризацию кривой, и может быть равна, в частности, 0. Этот вариант приводит к \({\xi^r}'=0\), и, в наиболее естественном случае, к \(\xi=r\). Так или иначе, но получается, что, независимо от параметризации, имеем \[\pm t+C=\int\frac{\dd{r}}{f(r)}=\int\frac{r\dd{r}}{H^2(r_--r)(r_g-r)(r_h-r)}=\\=\frac{\frac{\rho_h^2}{H}\ln\frac{-\rho_-+Hr}{\rho_h-Hr}+r_g(2\rho_h+Hr_g)\ln(r/r_g-1)-r_g(2\rho_h\ln(\rho_h-Hr)+Hr_g\ln(-\rho_-+Hr))}{2\sqrt{1-\mu^2}}\] При \(M\rightarrow0\) имеем \(\frac{1}{2H}\ln\frac{1+Hr}{1-Hr}\), а при \(H\rightarrow0\) получаем \(r+M+r_g\ln(r/r_g-1)\).

Подставим это всё в уравнение геодезического отклонения (учитывая \(\xi^i=(\pm1/f(r),1,0,0),\ \xi_i=(\pm1,-1/f(r),0,0)\)). \[\xi^i_{;j}=\pmatrix{\frac{\frac{M}{r^2}-H^2r}{f(r)}&\mp\frac{\frac{M}{r^2}-H^2r}{f(r)^2}&0&0\\\pm(\frac{M}{r^2}-H^2r)&-\frac{\frac{M}{r^2}-H^2r}{f(r)}&0&0\\0&0&\frac{1}{r}&0\\0&0&0&\frac{1}{r}}\] \[R^i_{ljk}\xi^l\xi^j=\left(\frac{2M}{r^3}+H^2\right) \pmatrix{ -1/f(r)&\pm1/f(r)^2&0&0\\ \mp1&1/f(r)&0&0\\ 0&0&0&0\\0&0&0&0}\]

Рассмотрим случай радиального движения \(X^i(\tau)=(t(\tau),r(\tau),0,0)\).

Тогда имеем \[f(r)^2\dot{t}^2=f(r)+\dot{r}^2,\] \[V^2=\frac{\dot{r}^2}{f(r)+\dot{r}^2}\] и \[A^i=\left(\ddot{t}+\frac{2M}{r^2}\frac{\dot{t}\dot{r}}{f(r)}, \ddot{r}+\frac{M}{r^2}, 0, 0\right)\label{radA}\]

В частном случае \(r=const\) будет \(\dot{r}=0\), \(\dot{t}=\frac{1}{\sqrt{f(r)}}\), \(\ddot{t}=0\) и \(A^r=\frac{M}{r^2}\) (последнее выражение вроде бы совпадает с классической формулой, но является координатной величиной), а \(A=\frac{M}{r^2\sqrt{f(r)}}\)

Движение \(V=const, \dot{r}<0\) приводит к следующим формулам: \[\dot{r}^2=\frac{V^2f(r)}{1-V^2},\] \[f(r)\dot{t}^2=\frac{1}{1-V^2},\] \[\ddot{r}=\frac{M V^2}{r^2(1-V^2)},\] \[\ddot{t}=\frac{M V}{r^2f(r)(1-V^2)},\] \[A^t=-\frac{M V}{r^2f(r)(1-V^2)},\quad A^r=\frac{M}{r^2}\frac{1+V^2}{1-V^2},\quad A=\frac{M}{r^2(1-V^2)}\sqrt{\frac{1+V^2+V^4}{f(r)}}\]

Радиальная геодезическая \(X^i(\tau)=(t(\tau),r(\tau),0,0),\; A^i=0\)

Из \eqref{radA} сразу получаем \[\ddot{r}=\dot{U^r}=-\frac{M}{r^2}\] и отсюда \[{U^r}^2=\gamma^2-1+\frac{2M}{r}\] А из метрики: \[1=f(r){U^t}^2-\frac{1}{f(r)}{U^r}^2\] или \[{U^t}^2=\frac{\gamma^2r^2}{(r-2M)^2}\]

Обозначим через \(v=U^r/U^t\) координатную скорость. Тогда будем иметь уравнение \[v=\ddfs{r}{t}=\pm\frac{f(r)}{\gamma}\sqrt{\gamma^2-f(r)}=\pm\frac{1}{\gamma}\left(1-\frac{2M}{r}\right)\sqrt{\gamma^2-1+\frac{2M}{r}}\]

Сделаем замену \[r=\frac{2M}{1-\gamma^2+\gamma^2q^2}\] Тогда получим такое уравнение для \(q\): \[\ddfs{q}{t}\left(\frac{1}{1-q^2}+\frac{1}{\gamma^2(q^2-1+1/\gamma^2)^2}+\frac{1}{q^2-1+1/\gamma^2}\right)=\pm\frac{1}{4M}\]

Рассмотрим случай кругового движения \(X^i(\tau)=(t(\tau),r,0,\varphi(\tau))\).

Тогда имеем \[f(r)\dot{t}^2=1+r^2\dot{\varphi}^2,\] \[V^2=\frac{r^2\dot{\varphi}^2}{1+r^2\dot{\varphi}^2},\] \[A^i=\left(\ddot{t},\frac{M}{r^2}-(r-3M)\dot{\varphi}^2,0,\ddot{\varphi}\right)\]