Влияние космологической постоянной на орбиты тел
Метрика
Решение Шварцшильда-деСиттера в стандартных координатах даётся формулой \[\dd{s}^2=f(r)\dd{t}^2-\frac{1}{f(r)}\dd{r}^2-r^2\dd{\mathbf\Omega}^2,\] где \(f(r)=1-\frac{2M}{r}-H^2r^2\), при этом \(M\) - масса центрального тела, а \(H\) - постоянная Хаббла.
Ввиду "важности" этой функции перепишем её в ином виде (используя, когда надо \(\mu=\sqrt{27}MH\ll1\)): \[f(r)=\frac{\hat{f}(r)}{r}=\frac{r-2M-H^2r^3}{r}=\frac{H^2(r-r_-)(r-r_g)(r_h-r)}{r}=\frac{(Hr-\rho_-)(r-r_g)(\rho_h-Hr)}{r},\] где
| \(\displaystyle r_g=\frac{2}{\sqrt{3}H}\sin\frac{\arcsin(\mu)}{3}\approx2M(1+(2MH)^2+3(2MH)^4+12(2MH)^6+55(2MH)^8)\) | - "гравитационный радиус" или радиус "внутреннего горизонта", |
| \(\displaystyle r_h=\frac{\rho_h}{H}=\frac{2}{\sqrt{3}H}\cos\frac{\arccos(-\mu)}{3}\approx-\frac{r_g}{2}+\frac{1}{H}-M(\frac{3}{2}MH+\frac{105}{8}(MH)^3+\frac{3003}{16}(MH)^6)\) | - "космологический радиус" или радиус "внешнего горизонта", |
| \(\displaystyle r_-=\frac{\rho_-}{H}=-\frac{2}{\sqrt{3}H}\cos\frac{\arccos(\mu)}{3}\approx-\frac{r_g}{2}-\frac{1}{H}+M(\frac{3}{2}MH+\frac{105}{8}(MH)^3+\frac{3003}{16}(MH)^6)\) | - "антикосмологический радиус" (всегда меньше 0), |
Для дальнейших целей нам ещё может понадобиться параметр \(\nu\): \(\mu^2=2\nu^3\), \(\nu=3(M^2H^2/2)^{1/3}\)
\(M_\unicode{x2609}H=1.08\cdot10^{-23},\ \mu_\unicode{x2609}=5.6\cdot10^{-23},\ \nu_\unicode{x2609}=1.16\cdot10^{-15},\ {r_g}_\unicode{x2609}=9.85\cdot10^{-6}\ с, r_h=4.56\cdot10^{17}\ с=4.4\ Гпк\)
Эффективный потенциал
Не теряя общности мы можем рассматривать движения только в экваториальной плоскости (\(\theta=0, \dd{\theta}=0\)). В этом случае имеем следующие интегралы движения: \[g_{ij}\ddfs{x^i}{\lambda}\ddfs{x^j}{\lambda}=f(r)\left(\ddfs{t}{\lambda}\right)^2-\frac{1}{f(r)}\left(\ddfs{r}{\lambda}\right)^2-r^2\left(\ddfs{\varphi}{\lambda}\right)^2=m^2,\label{m}\] \[g_{\varphi j}\ddfs{x^j}{\lambda}=r^2\ddfs{\varphi}{\lambda}=L=m l,\label{phi}\] \[g_{t j}\ddfs{x^j}{\lambda}=f(r)\ddfs{t}{\lambda}=E=m\varepsilon,\label{t}\] где \(\lambda=\tau/m\) - аффинный параметр, \(m\) - масса частицы, а \(E\) и \(L\) - некие аналоги энергии и момента импульса (аналоги из-за расширения).
Подставляя \eqref{t} и \eqref{phi} в \eqref{m} получим: \[\left(\ddfs{r}{\lambda}\right)^2=E^2-f(r)\left(m^2+\frac{L^2}{r^2}\right)=2m^2\left(\frac{\varepsilon^2+H^2l^2-1}{2}+\frac{M}{r}-\frac{l^2}{2r^2}+\frac{M l^2}{r^3}+\frac{H^2r^2}{2}\right)\label{r}.\] Это уравнение можно рассматривать как одномерное движение нерелятивистской частицы с удельной энергией \((\varepsilon^2+H^2l^2-1)/2\) в эффективном потенциале \[V(r)=-\frac{M}{r}+\frac{l^2}{2r^2}-\frac{M l^2}{r^3}-\frac{H^2r^2}{2}=\frac{1}{2r}\left(-2M-H^2r^3+\frac{l^2}{r^2}\left(r-2M\right)\right)\label{V}.\]
По сути, все интересующие нас вопросы решаются анализом этой функции. Поэтому, для целей дальнейшего рассмотрения, выпишем производные: \[V'(r)=\frac{M}{r^2}-\frac{l^2}{r^3}+\frac{3M l^2}{r^4}-H^2r=\frac{1}{r^2}\left(M-H^2r^3-\frac{l^2}{r^2}\left(r-3M\right)\right)\label{Vprim}\] \[V''(r)=-\frac{2M}{r^3}+\frac{3l^2}{r^4}-\frac{12M l^2}{r^5}-H^2=\frac{1}{r^3}\left(-2M-H^2r^3+3\frac{l^2}{r^2}\left(r-4M\right)\right)\label{Vbis}\]
График эффективного потенциала
\(10V\;vs\;\ln(r/M)\)
\(l/M\):
\(10^4HM\):
Как легко видеть, "пороговый" радиус \(r^*=\tfrac{M^{1/3}}{H^{2/3}}\) является точкой (неустойчивого) равновесия при радиальном движении и максимально-возможным радиусом круговой орбиты (с бесконечным периодом). Она же является точкой "минимального замедления времени". Удельная энергия в этой точке \(\varepsilon^2=1-3(HM)^{2/3}=1-\mu^{2/3}\). Как нетрудно заметить, отношение массы к кубу порогового радиуса является константой, что позволяет ввести понятие пороговой плотности \[\rho^*=\frac{M}{4/3\pi {r^*}^3}=\frac{3H^2}{4\pi}=\frac{\Lambda}{4\pi},\] что в два раза больше критической плотности.
Для галактики Млечный путь пороговый радиус будет примерно 2.5 млн лет, что в 25 раз больше диаметра диска и что примерно равно расстоянию до галактики Андромеда.
Круговые орбиты
Круговое движение возможно только тогда, когда одновременно и значение и производная правой части \eqref{r} равны 0 (точка равновесия в эффективном потенциале). Однако, оба уравнения \eqref{V} и \eqref{Vprim} представляют собой "полиномы" пятой степени по \(r\) и "плохо решаются". Поэтому пойдём другим путём - предположим, что существует круговая орбита с радиусом \(r\) и найдём необходимые для этого значения \(l\) и \(\varepsilon\).
Из уравнения \eqref{Vprim} тогда находим \[\frac{l^2}{r^2}=\frac{M-H^2r^3}{r-3M}\label{l}.\] Подставляя это в правую часть \eqref{r} и приравнивая нулю получим \[\varepsilon^2=\frac{(r-2M-H^2r^3)^2}{r(r-3M)}=f(r)\frac{r-2M-H^2r^3}{r-3M}.\label{e}\] Легко видно, что правые части этих формул неотрицательны только при \(r_\gamma\lt r\le r^*\) (где \(r_\gamma=3M\) - радиус фотонной сферы). И значит вне этого диапазона круговых орбит не существует.
Однако, существенным является устойчивость орбит, что возможно только если эффективный потенциал имеет при указанных параметрах минимум, то есть его вторая производная положительна. Подстановка \eqref{l} в \eqref{Vbis} даёт \[\frac{1}{r^3}\left(-2M-H^2r^3+3\frac{M-H^2r^3}{r-3M}\left(r-4M\right)\right)=\frac{Mr-6M^2-4H^2r^4+15MH^2r^3}{r^3(r-3M)}=\frac{M}{r^3}\frac{r-6M}{r-3M}-H^2\frac{4r-15M}{r-3M}.\] Это "полином" четвёртой степени, и он решаем. Решениями являются
| \(\displaystyle r_o=6M(1+12\mu^2+816\mu^4+74496\mu^6+O(\mu^8))\) | - радиус минимальной устойчивой орбиты, |
| \(\displaystyle r_O=\frac{r^*}{4^{1/3}}(1-\frac{1}{2}\nu-\frac{7}{4}\nu^2-\frac{85}{12}\nu^3-32\nu^4+O(\nu^5))\) | - радиус максимальной устойчивой орбиты |
Круговые скорости и периоды
Скорость тела на орбите и/или период обращения может определяться тремя способами (учтём, что из \eqref{t} вытекает \(\ddfs{t}{\tau}=\frac{\varepsilon}{f(r)}\)):
- по часам, расположенным на самом теле, и с использованием вычисленной длины орбиты \[v_\tau=\frac{2\pi r}{\Delta\tau}=r\left(\ddfs{\varphi}{\tau}\right)=\frac{l}{r}\]
- местным неподвижным наблюдателем, доплеровским радаром, например \[v=\frac{2\pi r}{\Delta T}=\frac{r}{\sqrt{f(r)}}\left(\ddfs{\varphi}{t}\right)=\frac{l\sqrt{f(r)}}{r\varepsilon}\]
- удалённым неподвижным наблюдателем "астрономическими" наблюдениями и плясками с бубном \[v_t=\frac{2\pi r}{\Delta t}=r\left(\ddfs{\varphi}{t}\right)=\frac{lf(r)}{r\varepsilon}\] (при ненулевой постоянной Хаббла таковой, строго говоря, отсутствует)
Возведём, для удобства, указаные формулы в квадрат, и подставим \eqref{l} и \eqref{e}: \[v_\tau^2=\frac{M-H^2r^3}{r-3M}=\frac{M}{r-3M}(1-(r/r^*)^3)\] \[v^2=\frac{M-H^2r^3}{r-2M-H^2r^3}=\frac{M}{r-M(2+(r/r^*)^3)}(1-(r/r^*)^3)\] \[v_t^2=\frac{M}{r}-H^2r^2=\frac{M}{r}(1-(r/r^*)^3)\]
Сделаем табличку по характерным расстояниям
| параметр | тип | \(r_\gamma=3M\) | \(r_o\approx6M(1+12\mu^2)\) | \(r_o\ll r\ll r_O\) | \(\displaystyle r_O\approx\frac{r^*}{4^{1/3}}(1-\frac{1}{2}\nu)\) | \(r^*\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(v^2\) | own | \(\infty\) | \(\displaystyle\frac{1}{3}\left(1-32\mu^2\right)\) | \(\displaystyle\frac{M}{r}\left(1+\frac{3M}{r}+\frac{9M^2}{r^2}+\frac{27M^3}{r^3}-\left(\frac{r}{r^*}\right)^3\right)\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\nu+\frac{3}{2}\nu^2\) | \(0\) |
| loc | \(1\) | \(\displaystyle\frac{1}{4}\left(1-24\mu^2\right)\) | \(\displaystyle\frac{M}{r}\left(1+\frac{2M}{r}+\frac{4M^2}{r^2}+\frac{8M^3}{r^3}-\left(\frac{r}{r^*}\right)^3\right)\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\nu+\frac{5}{4}\nu^2\) | ||
| far | \(\displaystyle\frac{1}{3}\left(1-\mu^2\right)\) | \(\displaystyle\frac{1}{6}\left(1-20\mu^2\right)\) | \(\displaystyle\frac{M}{r}\left(1-\left(\frac{r}{r^*}\right)^3\right)\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\nu+\frac{1}{2}\nu^2\) | ||
| \(\displaystyle\frac{\Delta T}{2\pi}\) | own | \(0\) | \(\displaystyle2\sqrt{27}M\left(1+28\mu^2\right)\) | \(\displaystyle\sqrt{\frac{r^3}{M}}\left(1-\frac{3M}{2r}-\frac{9M^2}{8r^2}-\frac{27M^3}{16r^3}+\frac{1}{2}\left(\frac{r}{r^*}\right)^3\right)\) | \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}H}\left(1-2\nu-3\nu^2\right)\) | \(\infty\) |
| loc | \(3M\) | \(\displaystyle12M\left(1+24\mu^2\right)\) | \(\displaystyle\sqrt{\frac{r^3}{M}}\left(1-\frac{M}{r}-\frac{M^2}{2r^2}-\frac{M^3}{2r^3}+\frac{1}{2}\left(\frac{r}{r^*}\right)^3\right)\) | \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}H}\left(1-\frac{7}{4}\nu-\frac{89}{32}\nu^2\right)\) | ||
| far | \(\displaystyle\sqrt{27}M\left(1+\frac{1}{2}\mu^2+\frac{3}{8}\mu^2\right)\) | \(\displaystyle3\sqrt{6}M\left(1+22\mu^2\right)\) | \(\displaystyle\sqrt{\frac{r^3}{M}}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{r}{r^*}\right)^3\right)\) | \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}H}\left(1-\nu-3\nu^2\right)\) |
Прецессия
Для вычисления прецессии почти круговой орбиты, отметим, что \[\frac{\omega_r^2}{\omega_\varphi^2}=V''(r)\frac{r^4}{l^2}=\frac{M(r-6M)-H^2r^3(4r-15M)}{r(M-H^2r^3)},\] где использовано \eqref{phi}, \eqref{Vbis} и \eqref{l}. Прецессия за радиан составляет \[\Delta\phi=\left(1-\frac{\omega_r}{\omega_\varphi}\right)=\frac{3M}{r}+\frac{9M^2}{2r^2}+\frac{27M^3}{2r^3}+\frac{3}{2}\left(\frac{r}{r^*}\right)^3+\dots\] (в приближении малости \(M\) и \(H\)). Если учесть, что радиус "эквивалентной" (с тем же моментом импульса) круговой орбиты \(r=A(1-e^2)\), то первое слагаемое даёт "классическое" ОТОшное выражение.
Особенные орбиты
Рассмотрим некоторые параметры движения по "особым" круговым орбитам с радиусами \(r_\gamma,\ r_o,\ r_O,\ r^*\).
Заметим, что \[H^2r^3=M(M^2H^2)(r/M)^3=\frac{M}{27}\mu^2(r/M)^3=\frac{2M}{27}\nu^3(r/M)^3\]
Кроме того, нам понадобится третья производная \[V'''(r)=\frac{6M}{r^4}-\frac{12l^2}{r^5}+\frac{60M l^2}{r^6}=\frac{6}{r^4}\left(M-2\frac{l^2}{r^2}\left(r-5M\right)\right)\label{Vpribis}\] И для круговой орбиты получим выражение \[\frac{6}{r^4}\left(M-2\frac{M-H^2r^3}{r-3M}\left(r-5M\right)\right)=\frac{6M}{r^4(r-3M)}\left(-r+7M+\frac{2(r-5M)}{27}\mu^2(r/M)^3\right)\] При этом нас будет интересовать знак производной, т.е. значение выражения \[W=-r/M+7+\frac{2(r/M-5)}{27}\mu^2(r/M)^3\label{W}\]
\(r^*\)
Это наиболее простой случай, и он уже был, по сути, рассмотрен выше. Это покой в неустойчивом равновесии. Формально \[l^*=0\\ \varepsilon^*=\frac{r^*-3M}{r^*}=1-\mu^{2/3}=1-\sqrt[3]{2}\nu\]
\(r_\gamma\)
Для этого случая движение по круговой орбите возможно только для безмассовых частиц (\(m=0\)) и вместо \(l\) и \(\varepsilon\) следует использовать "полные" момент импульса и энергию, а точнее, их отношение \(L/E\) - в этом случае мы "устраняем" зависимость от несущественной "частоты фотона".
Более того, мы их (\eqref{phi} и \eqref{t}) сразу подставим в "метрику" \eqref{m}: \[\frac{E_\gamma^2}{f(r_\gamma)}-\frac{L_\gamma^2}{r_\gamma^2}=0.\] То есть \[\frac{L_\gamma^2}{E_\gamma^2}=\frac{9M^2}{1-2/3-9H^2M^2}=\frac{27M^2}{1-\mu^2}\]
Но такое же отношение параметров может иметь и фотон "на бесконечности". В самом деле, проведём ось \(X\) через центр ЧД параллельно направлению фотона, а ось \(Y\) - перпендикулярно в той же плоскости. Тогда \(L=yP_x=yE\) где \(y\) координата фотона, и она же "прицельный параметр". Такой фотон (если он направлен к ЧД) будет совершать бесконечное число витков вокруг ЧД постепенно приближаясь к фотонной сфере. Фотоны с меньшим значением \(y\) совершив конечное число оборотов пересекут фотонную сферу и будут поглощены ЧД. Фотоны с большим "прицельным параметром" через некоторое количество витков вне фотонной сферы "вернутся в бесконечность".
\(r_o\)
Сразу выпишем \[l_o^2/M^2=12(1-8\mu^2-144\mu^4-8064\mu^6+O(\mu^8))\\ \varepsilon_o^2=\frac{8}{9}(1-4\mu^2-32\mu^4-1728\mu^6+O(\mu^8))\]
При этом \[W_o=1-56\mu^2-3168\mu^4+O(\mu^6)\] то есть данная точка является точкой перегиба, потенциал в окрестности монотонно возрастает, а значит данная круговая орбита "недостижима" из "бесконечности". То есть с этой орбиты возможен "сход" только в ЧД.
\(r_O\)
Аналогично \[l_O^2/M^2=\frac{3}{(16MH)^{2/3}}(1+2\nu+\frac{9}{2}\nu^2+\frac{35}{3}\nu^3+O(\nu^4))\\ \varepsilon_O^2=1-\nu+\frac{1}{4}\nu^2+\frac{3}{4}\nu^3+O(\nu^4)\]
При этом \[W_O=\frac{3}{4\nu}(-1+5\nu+3\nu^2+O(\nu^3))\]
Радиальное движение
Радиальное движение означает \(l=0\). Соответтсвенно, формулы \eqref{V} и \eqref{Vprim} сводятся к \[V(r)=\frac{1}{2r}\left(-2M-H^2r^3\right)\\V'(r)=\frac{1}{r^2}\left(M-H^2r^3\right)\] а уравнение движения \eqref{r} к \[\left(\ddfs{r}{\tau}\right)^2=\varepsilon^2-1+\frac{2M}{r}+H^2r^2=\varepsilon^2-f(r)\]
Пожалуй, единственый интересный случай составляет задача "убегания на бесконечность". То есть, достижение порогового радиуса. Необходимая для этого удельная энергия тела равна \(\varepsilon^2-1=-\mu^{2/3}\). И наиболее "неприятным" вопросом является вопрос определения скорости "тела". Будем считать, что расстояние, проходимое телом, всегда измеряется по "неподвижным верстовым столбам", то есть \(\dd{h}=\tfrac{\dd{r}}{\sqrt{f(r)}}\). А время, и скорость соответственно, можно определить тремя способами:
- по часам, расположенным на теле \[v_\tau=\ddfs{h}{\tau}=\frac{1}{\sqrt{f(r)}}\ddfs{r}{\tau}=\sqrt{\frac{1-\mu^{2/3}}{f(r)}-1}\]
- местным неподвижным наблюдателем \[v=\frac{1}{\sqrt{f(r)}}\ddfs{h}{t}=\frac{1}{f(r)}\ddfs{r}{t}=\frac{1}{\varepsilon}\ddfs{r}{\tau}=\sqrt{1-\frac{f(r)}{1-\mu^{2/3}}}\]
- удалённым неподвижным наблюдателем \[v_t=\ddfs{h}{t}=\sqrt{f(r)-\frac{f(r)^2}{1-\mu^{2/3}}}\]
Захват
Отклонение лучей
В заключение рассмотрим "отклонение лучей". Для этого "скомбинируем" \eqref{r} и \eqref{phi} (и учтём, что \(m=0\)): \[\left(\ddfs{r}{\varphi}\right)^2=\frac{E^2r^4}{L^2}-f(r)r^2=\frac{r^4}{b^2}-r^2+2Mr+H^2r^4=\frac{r^4}{a^2}-r(r-2M).\]
Как видно, постоянная Хаббла просто меняет "эффективный прицельный параметр", поэтому можем сразу выписать формулу отклонения луча: \[\delta\varphi=\frac{4M}{b}\sqrt{1+b^2H^2}\approx\frac{4M}{b}+2MbH^2\]
Или, чуть более строго, \[\varphi=\int\frac{a}{r^2\sqrt{1-\frac{a^2}{r^3}(r-2M)}}\dd{r}=\dpf{a}{\int\sqrt{\frac{r^2}{(r-2M)^2}-\frac{a^2}{r(r-2M)}}\dd{r}}=\\ =\dpf{a}{\int\sqrt{\frac{(h+M)^2}{(h-M)^2}-\frac{a^2}{h^2-M^2}}\dd{h}}\approx\dpf{a}{\int\sqrt{1+\frac{4M}{h}-\frac{a^2}{h^2}}\dd{h}}\approx\dpf{a}{\left(\int\sqrt{1-\frac{a^2}{h^2}}\dd{h}+2M\int\frac{1}{\sqrt{h^2-a^2}}\dd{h}\right)}=\\ =\dpf{a}{\left(\sqrt{h^2-a^2}-a\arctan\frac{\sqrt{h^2-a^2}}{a}+\frac{2M}{a}\acosh\frac{h}{a}\right)}.\] Дифференцируя и беря (удвоенный) предел в бесконечности, получим формулу \[\Delta\varphi=\pi+\frac{4M}{a}\]