Влияние космологической постоянной на орбиты тел

Используются геометрические (временные) единицы (\(c=G=1\)). Используется метрика с сигнатурой \(\left(+---\right)\) (что соответствует ЛЛ, (ru|en).wikipedia.org, но обратно МТУ). Тензор Римана определяется в виде \(R^i_{jkl}=\Gamma^i_{jl,k}+\ldots\), а тензор Риччи как \(R_{ij}=R^k_{ikj}\) (что соответствует МТУ, ЛЛ, (ru|en).wikipedia.org, но обратно Максима).

Решение Шварцшильда-деСиттера в стандартных координатах даётся формулой \[\dd{s}^2=f(r)\dd{t}^2-\frac{1}{f(r)}\dd{r}^2-r^2\dd{\Omega}^2,\] где \(f(r)=1-\frac{2M}{r}-H^2r^2\), при этом \(M\) - масса центрального тела, а \(H\) - постоянная Хаббла. Далее будем считать, где потребуется, что \(H M \ll 1\).

Для справки укажем, что масса Солнца в секундах \(M=4.927\cdot10^{-6}с\), а постоянная Хаббла \(H=2.282\cdot10^{-18} с^{-1}\)

Не теряя общности мы можем рассматривать движения только в экваториальной плоскости (\(\theta=0, \dd{\theta}=0\)). В этом случае имеем следующие интегралы движения: \[g_{ij}\ddfs{x^i}{\lambda}\ddfs{x^j}{\lambda}=f(r)\left(\ddfs{t}{\lambda}\right)^2-\frac{1}{f(r)}\left(\ddfs{r}{\lambda}\right)^2-r^2\left(\ddfs{\varphi}{\lambda}\right)^2=m^2,\label{m}\] \[g_{\varphi j}\ddfs{x^j}{\lambda}=r^2\ddfs{\varphi}{\lambda}=L=m l,\label{phi}\] \[g_{t j}\ddfs{x^j}{\lambda}=f(r)\ddfs{t}{\lambda}=E=m\varepsilon,\label{t}\] где \(\lambda=\tau/m\) - аффинный параметр, \(m\) - масса частицы, а \(E\) и \(L\) - некие аналоги энергии и момента импульса (аналоги из-за расширения).

Подставляя \eqref{t} и \eqref{phi} в \eqref{m} получим: \[\left(\ddfs{r}{\lambda}\right)^2=E^2-f(r)\left(m^2+\frac{L^2}{r^2}\right)=2m^2\left(\frac{\varepsilon^2+H^2l^2-1}{2}+\frac{M}{r}-\frac{l^2}{2r^2}+\frac{M l^2}{r^3}+\frac{H^2r^2}{2}\right)\label{r}.\] Это уравнение можно рассматривать как одномерное движение нерелятивистской частицы с удельной энергией \((\varepsilon^2+H^2l^2-1)/2\) в эффективном потенциале \[V(r)=-\frac{M}{r}+\frac{l^2}{2r^2}-\frac{M l^2}{r^3}-\frac{H^2r^2}{2}\label{V}.\]

График эффективного потенциала

\(10V\;vs\;\ln(r/M)\)

\(l/M\):

\(10^4HM\):

Как легко видеть, "пороговый" радиус \(r^*=\left.M^{1/3}\middle/H^{2/3}\right.\) является точкой (неустойчивого) равновесия при радиальном движении и максимально-возможным радиусом круговой орбиты (с бесконечным периодом). Она же является точкой "минимального замедления времени". Удельная энергия в этой точке \(\varepsilon^2=1-3(HM)^{2/3}\). Как нетрудно заметить, отношение массы к кубу порогового радиуса является константой, что позволяет ввести понятие пороговой плотности \[\rho^*=\frac{M}{4/3\pi {r^*}^3}=\frac{3H^2}{4\pi}=\frac{\Lambda}{4\pi},\] что в два раза больше критической плотности.

Для Солнца пороговый радиус составляет примерно 311 лет. Пороговая плотность в обычных единицах будет примерно \(1.863\cdot10^{-26} кг/м^3\) или \(10.45 ГэВ/м^3\).

Круговое движение возможно только тогда, когда одновременно и значение и производная правой части \eqref{r} равны 0. Из равенства 0 производной находим \[\frac{l^2}{r^2}=\frac{M-H^2r^3}{r-3M}\label{l}.\] Подставляя это в правую часть \eqref{r} и приравнивая нулю получим \[\varepsilon^2=\frac{(r-2M-H^2r^3)^2}{r(r-3M)}=f(r)\frac{r-2M-H^2r^3}{r-3M}.\] Имея ввиду, что скорость движения по круговой орбите (измеренная местным неподвижным наблюдателем) даётся выражением \[v^2=\frac{r^2}{f(r)}\left(\ddfs{\varphi}{t}\right)^2=\frac{l^2f(r)}{r^2\varepsilon^2},\] получим \[v^2=\frac{M-H^2r^3}{r-2M-H^2r^3}.\] "Поправки" к Ньютону в этой формуле составляют \[\frac{\Delta v}{v}\approx\frac{M}{r}-\frac{H^2r^3}{2M}.\]

Для случая Солнца и земной орбиты (\(r=500с\)) получаются значения \(9.85\cdot10^{-9}\) и \(6.61\cdot10^{-23}\) для первого и второго слагаемого соответственно.

Может показаться интересным, что радиус фотонной сферы не зависит от постоянной Хаббла, хотя и радиус ГС и радиус минимальной устойчивой орбиты слегка увеличиваются: \[r_g\approx2M(1+(2HM)^2)\] \[r_o\approx6M(1+(18HM)^2)\]

Для "комплекта" упомянем радиус максимальной устойчивой орбиты: \[r_O\approx r^*\left(\frac{1}{2^{2/3}}-\frac{3}{4}(HM)^{2/3}\right)\approx0.63r^*\] и скорости на этих орбитах: \[v_o\approx\frac{1}{2}-162(HM)^2\] \[v_O\approx\sqrt{3}\left(\frac{HM}{4}\right)^{1/3}\approx\sqrt{\frac{3M}{4r_O}}\] \[T_O=\frac{2\pi r_O}{v_O}\approx2\pi\sqrt{\frac{4r_O^3}{3M}}\approx2\pi\sqrt{\frac{{r^*}^3}{3M}}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\frac{1}{H}=\frac{2\pi}{\sqrt{\Lambda}}\]

Для вычисления прецессии почти круговой орбиты, отметим, что \[\frac{\omega_r^2}{\omega_\varphi^2}\approx V''(r)\frac{r^4}{l^2}=\frac{M(r-6M)-H^2r^3(4r-15M)}{r(M-H^2r^3)},\] где использовано \eqref{phi} и \eqref{l}. Прецессия за период составляет \[\delta\phi=2\pi\left(1-\frac{\omega_r}{\omega_\varphi}\right)\approx \frac{6\pi M}{r}+\frac{3\pi H^2r^3}{M}\] (в приближении малости \(M\) и \(H\)). Если учесть, что радиус "эквивалентной" (с тем же моментом импульса) круговой орбиты \(r=A(1-e^2)\), то первое слагаемое даёт "классическое" ОТОшное выражение.

Для случая Солнца и земной орбиты (\(r=500с\)) получаются значения \(1.86\cdot10^{-7}\) и \(1.25\cdot10^{-21}\) для первого и второго слагаемого соответственно.

В целом, можно сказать, что расширение при расстояниях меньше порогового никак качественно не меняет характер орбит. Лишь только уменьшает кажущуюся массу центрального тела и увеличивает прецессию.

В заключение рассмотрим "отклонение лучей". Для этого "скомбинируем" \eqref{r} и \eqref{phi} (и учтём, что \(m=0\)): \[\left(\ddfs{r}{\varphi}\right)^2=\frac{E^2r^4}{L^2}-f(r)r^2=\frac{r^4}{b^2}-r^2+2Mr+H^2r^4=\frac{r^4}{a^2}-r(r-2M).\]

Как видно, постоянная Хаббла просто меняет "эффективный прицельный параметр", поэтому можем сразу выписать формулу отклонения луча: \[\delta\varphi\approx\frac{4M}{b}\sqrt{1+b^2H^2}\approx\frac{4M}{b}+2MbH^2\]

Или, чуть более строго, \[\varphi=\int\frac{a}{r^2\sqrt{1-\frac{a^2}{r^3}(r-2M)}}\dd{r}=\dpf{a}{\int\sqrt{\frac{r^2}{(r-2M)^2}-\frac{a^2}{r(r-2M)}}\dd{r}}=\\ =\dpf{a}{\int\sqrt{\frac{(h+M)^2}{(h-M)^2}-\frac{a^2}{h^2-M^2}}\dd{h}}\approx\dpf{a}{\int\sqrt{1+\frac{4M}{h}-\frac{a^2}{h^2}}\dd{h}}\approx\dpf{a}{\left(\int\sqrt{1-\frac{a^2}{h^2}}\dd{h}+2M\int\frac{1}{\sqrt{h^2-a^2}}\dd{h}\right)}=\\ =\dpf{a}{\left(\sqrt{h^2-a^2}-a\arctan\frac{\sqrt{h^2-a^2}}{a}+\frac{2M}{a}\operatorname{acosh}\frac{h}{a}\right)}.\] Дифференцируя и беря (удвоенный) предел в бесконечности, получим формулу \[\Delta\varphi=\pi+\frac{4M}{a}\]

Для случая Солнца и его поверхности (\(b=2.32с\)) получаются значения \(8.49\cdot10^{-6}\) и \(1.19\cdot10^{-40}\) для первого и второго слагаемого соответственно.