Движущаяся чёрная дыра (ЧД)

Используется система натуральных (геометрических, временных) единиц (\(c=G=1\)). \(\dd{\mathbf\Omega}^2=\dd{\theta}^2+cos^2\theta\dd{\varphi}^2\). Большинство соглашений следуют ЛЛ (подробнее см. страницу Соглашений и настроек)

Оригинальная метрика (в цилиндрических координатах) \[\dd{s}^2=\dd{t}^2-(\dd{\rho}-V^\rho\dd{t})^2-\rho^2\dd{\varphi}^2-(\dd{z}-V^z\dd{t})^2,\] где \[V^\rho=\frac{\rho\sqrt{2M}}{\left(\rho^2+(z-Ut)^2\right)^{3/4}},\] \[V^z=\frac{(z-Ut)\sqrt{2M}}{\left(\rho^2+(z-Ut)^2\right)^{3/4}}+U\] описывает ЧД, движущуюся вдоль оси \(z\) с координатной (физической*) скоростью \(U\).

Эта метрика имеет особенность при \[g_{tt}=1-{V^\rho}^2-{V^z}^2=1-\frac{2M}{\left(\rho^2+(z-Ut)^2\right)^{1/2}}-2U\frac{(z-Ut)\sqrt{2M}}{\left(\rho^2+(z-Ut)^2\right)^{3/4}}-U^2=0\]

Перейдём к "одновременному" сечению с коррекцией растяжения оси \(z\): \(z-Ut=\frac{\zeta}{\sqrt{1-U^2}}\): \[V^\rho=\frac{\rho\sqrt{2M}}{\left(\rho^2+\frac{\zeta^2}{1-U^2}\right)^{3/4}},\] \[V^z=\sqrt{\frac{2M}{1-U^2}}\frac{\zeta}{\left(\rho^2+\frac{\zeta^2}{1-U^2}\right)^{3/4}}+U,\] \[g_{tt}=1-\frac{2M}{\left(\rho^2+\frac{\zeta^2}{1-U^2}\right)^{1/2}}-2U\sqrt{\frac{2M}{1-U^2}}\frac{\zeta}{\left(\rho^2+\frac{\zeta^2}{1-U^2}\right)^{3/4}}-U^2=0\]

На всякий случай, опишем переход к "выправленным" координатам

\[t=\frac{\tau-U\zeta}{\sqrt{1-U^2}}\\ z=\zeta\sqrt{1-U^2}\] \[\dd{t}=\frac{\dd{\tau}-U\dd{\zeta}}{\sqrt{1-U^2}}\\ \dd{z}=\dd{\zeta}\sqrt{1-U^2}\] \[\dd{s}^2=\frac{(\dd{\tau}-U\dd{\zeta})^2}{1-U^2}-\left(\dd{\rho}-V^\rho\frac{\dd{\tau}-U\dd{\zeta}}{\sqrt{1-U^2}}\right)^2-\rho^2\dd{\varphi}^2-\left(\dd{\zeta}\sqrt{1-U^2}-V^z\frac{\dd{\tau}-U\dd{\zeta}}{\sqrt{1-U^2}}\right)^2=\\ \frac{(\dd{\tau}-U\dd{\zeta})^2}{1-U^2}-\frac{(\dd{\rho}\sqrt{1-U^2}-V^\rho\dd{\tau}+UV^\rho\dd{\zeta})^2}{1-U^2}-\rho^2\dd{\varphi}^2-\frac{(\dd{\zeta}(1+U(V^z-U))-V^z\dd{\tau})^2}{1-U^2}\] Нетрудно видеть, что \[g_{\tau\tau}=\frac{g_{tt}}{1-U^2}\]

Найдём решение при \(\zeta=0\): \[1-\frac{2M}{\rho}-U^2=0\quad\Longrightarrow\quad \rho_o=\frac{2M}{1-U^2}\] и при \(\rho=0\): \[1-\frac{2M\sqrt{1-U^2}}{|\zeta|}-\frac{\zeta}{|\zeta|}2U\sqrt{\frac{2M\sqrt{1-U^2}}{|\zeta|}}-U^2=0\quad\Longrightarrow\quad \breve{\zeta}=\pm\frac{2M\sqrt{1-U^2}}{(1\mp U)^2}\] (знаки согласованы как указано).

Рассмотрим более подробно поведение \(g_{tt}\) (для простоты, будем обозначать его \(G(\rho,\zeta)\)). Возьмём, для примера, \(M=1/2,\;U=4/5\) и подсчитаем численно: g=[];u=4/5;m=1/2;for i=1:601,r=(i-301)/20;for j=1:601,z=(j-201)/20;g(i,j)=max(0,1-u^2-2*m/sqrt(r^2+z^2/(1-u^2))-2*u*z*sqrt(2*m/sqrt(r^2+z^2/(1-u^2))^3/(1-u^2)));end,end, surf((-200:400)/20,(-300:300)/20,g);set(gca(),"isoview","on");set(gca(),"view","2d");set(get(gca(),"children"),"thickness",0);set(gcf(),"color_map",(hotcolormap(1024)).^(1/3));xtitle("gtt @ u=4/5, m=1/2","z","r","");

Опишем характерные точки, какие получится. Напомним, что в данном примере радиус неподвижной ЧД равен 1. Наша движущаяся ЧД простирается вперёд по ходу движения до 15, а сзади (по оси) до -5/27.

Позади ЧД существует точка, где замедление времени "отсутствует". А именно, \(G_{,\zeta}(0,\zeta^*)=0\implies\zeta^*=-\frac{2M\sqrt{1-U^2}}{U^2},\;G(0,\zeta^*)=1\). В нашем случае это будет в точке -15/16.

Как можно видеть, сзади ЧД "продавлена внутрь". Найдём параметры "кормового свеса". Для этого решим уравнение \(G_{,\rho}=0\) относительно \(\rho\). Это уравнение эквивалентно следующему \[\sqrt{2M}(1-U^2)^{1/4}(\zeta^2+\rho^2(1-u^2))^{1/4}+3U\zeta=0\] Далее будем считать, что \(\zeta\lt0\). Решением уравнения будет \[\bar{\rho}^2=\zeta^2\frac{81U^4\zeta^2-4M^2(1-U^2)}{4M^2(1-U^2)^2}\] Теперь решим уравнение \(G(\bar{\rho},\zeta)=0\). Это уравнение имеет решение (с учётом замечания о знаке) \[\bar{\zeta}=-\frac{2M}{3\sqrt{3}U}\] и, соответственно, \[\bar{\rho}=\frac{2M}{3\sqrt{3}U}\frac{\sqrt{4U^2-1}}{1-U^2}\]

Как видно, "свес" появляется только при \(U\gt1/2\). В нашем примере его координаты будут примерно -0.241 и 0.835 (то есть свес не большой). Максимальная "контрастность свеса" достигается при скорости 0.759590 (как глубина впадины к толщине ЧД) или при скорости 0.812 (как "угол раствора").

Попробуем найти ширину ЧД. Сделаем замену \(\zeta=k\rho\): \[G=1-U^2-\frac{2M\sqrt{1-U^2}}{\rho\sqrt{1+k^2-U^2}}-\frac{2kU}{\sqrt{1+k^2-U^2}}\sqrt{\frac{2M\sqrt{1-U^2}}{\rho\sqrt{1+k^2-U^2}}}\] Из условия \(G=0\) найдём (положительное) \(\rho\): \[\rho=2M\frac{\left(kU+\sqrt{1+k^2-2U^2+U^4}\right)^2}{(1+k^2-U^2)^{3/2}(1-U^2)^{3/2}}\] Дифференцируем по \(k\) и находим решение: \[2k^2=(1-U^2)(\sqrt{U^4+14U^2+1}+U^2-1)\] Подстановка даёт выражение для максимального \[\hat{\rho}=2M\frac{\sqrt{2}}{(1-U^2)^2}\frac{(1+U^2)\sqrt{U^4+14U^2+1}+1+6U^2+U^4}{(\sqrt{U^4+14U^2+1}+1+U^2)^{3/2}}\] (что совпадает с ранее сделанной оценкой в ультрарелятивистском пределе)

Рассмотрим линию \(\rho=const,\;\varphi=const,\;z=Ut+z_0\). Подстановка в метрику даёт \[\dd{s}^2=(1-{V^\rho}^2-(V^z-U)^2)\dd{t}^2=\left(1-\frac{2M}{\sqrt{\rho^2+z_0^2}}\right)\dd{t}^2\] Или линию \(\rho=const,\;\varphi=const,\;\zeta=U\tau+\zeta_0\). Тогда \[\dd{s}^2=\left(1-{V^\rho}^2-(V^z-U)^2\right)(1-U^2)\dd{\tau}^2=\left(1-\frac{2M}{\sqrt{\rho^2+\frac{\zeta_0^2}{1-U^2}}}\right)(1-U^2)\dd{\tau}^2\]