Введение

В статье рассматриваются массивные сферы с позиций ОТО. Т.е. считается, что имеется сферическая симметрия и вне отдельных поверхностей материя отсутствует. Решения ищутся, по возможности, точные.

В основном, используются Шварцшильдовские координаты, что, вообще говоря, требует отдельного рассмотрения продолжения решений под горизонт.

Скорость света \(c\) и гравитационная постоянная \(G\) полагаются равными 1.

Краткое изложение формализма в общем случае

Предполагается, что в ПВ имеется времениподобная поверхность \(\Sigma\), разделяющая ПВ на две области \(M_+\) и \(M_-\) в каждой из которых заданы различные системы координат \(X_+^i\) и \(X_-^i\). Требованием, связывающим эти СК, является совпадение метрик, индуцированных из каждой области на \(\Sigma\).

Считаем, что поверхность \(\Sigma\) параметризована внутренними координатами \(\zeta^\alpha\) и, соответственно, \[X_\pm^i=X_\pm^i(\zeta^\alpha)\]

Тогда, касательные вектора задаются соотношениями \[{e_\pm}_\alpha^i=\dpfs{X_\pm^i}{\zeta^\alpha}\label{covect}\]

Скалярное произведение этих векторов определяет индуцированную на поверхности метрику (первая фундаментальная форма) \[{g_\pm}_{\alpha\beta}={g_\pm}_{ij}{e_\pm}_\alpha^i{e_\pm}_\beta^j\label{metc}\]

Обе метрики должны совпадать в каждой точке поверхности \(\Sigma\): \({g_+}_{\alpha\beta}(\zeta)={g_-}_{\alpha\beta}(\zeta)=g_{\alpha\beta}(\zeta)\)

Тензор внешней кривизны (вторая фундаментальная форма) определяется через единичный ковектор \(n\), нормальный к поверхности, следующим образом³ \[K_{\alpha\beta}={n_i}_{;j}e_\alpha^ie_\beta^j=-n_i{e_\alpha^i}_{;j}e_\beta^j\]

Тензор энергии-импульса поверхности (трёхмерный!) определяется через скачок тензора кривизны поверхности \([K_{\alpha\beta}]={K_+}_{\alpha\beta}-{K_-}_{\alpha\beta}\) и \([K]=g^{\alpha\beta}[K_{\alpha\beta}]\) уравнением Ланцоша (Lanczos)⁴ \[S_{\alpha\beta}=\frac{1}{8\pi}\left([K_{\alpha\beta}]-g_{\alpha\beta}[K]\right)\]

Последнее соотношение позволяет придать физически осмысленный вид задаче. В частности, "просто поверхность" должна иметь нулевой \(S_{\alpha\beta}\) и, соответственно, нулевой \([K_{\alpha\beta}]\), то есть совпадающие тензоры внешней кривизны.

Движение массивной (заряженной) сферы в сферически симметричном поле

История движения сферы в ПВ как раз представляет собой пример поверхности \(\Sigma\), описанной в предыдущем разделе. Поскольку в данном случае мы имеем дело только с двумя областями, сохраним для их обозначения знаки \(\pm/+/-\). Величины без этих знаков будут либо относится к самой поверхности, либо быть тождественно равными для обеих областей.

Существенно используется утверждение о том, что вне сферы, независимо от её (сферически-симметричного) движения, метрика остаётся постоянной (что для случая без зарядов и "расширения" утверждается теоремой Биркгофа).

При анализе будут использоваться сферические координаты. Это позволяет использовать угловые координаты общие для всего ПВ (и не использвать для них метки области).

Рассмотрим метрику вне сферы в виде \[\dd{s}^2=f_\pm\dd{t_\pm}^2-f_\pm^{-1}\dd{r_\pm}^2-r_\pm^2\dd{\Omega}^2,\] где \[f_\pm(r)=1-\frac{2M_\pm}{r}+\frac{Q_\pm^2}{r^2}-H^2r^2,\] а \(M_\pm\) - параметр массы для соответствующей области, \(Q_\pm\) - заряд, а \(H\) - постоянная Хаббла (\(\sqrt{\Lambda/3}\)).

Параметризуем сферу координатами \((\tau,\theta,\varphi)\), где \(\tau\) - собственное время частиц на сфере. Во внешних областях координаты сферы будут задаваться соотношениями \[r_\pm=R(\tau),\;t_\pm=t_\pm(\tau),\;\theta_\pm=\theta,\;\varphi_\pm=\varphi\] (в стандартных координатах с учётом условия \eqref{metc} координата \(r\) будет непрерывна на сфере)

Тогда, из \eqref{covect} имеем \begin{align} {e_\pm}_\tau^i &= (\dot{t_\pm},\dot{R},0,0)={u_\pm}^i\label{equ}\\ {e_\pm}_\theta^i &= (0,0,1,0)\\ {e_\pm}_\varphi^i &= (0,0,0,1) \end{align}

и нормальный единичный ковектор \[{n_\pm}_i=(\dot{R},-\dot{t_\pm},0,0)\label{eqn}\]

Заметим, что вектора \(u\) и \(n\) имеют довольно простой вид в силу того, что для параметризации поверхности было выбрано собственное время, и, следовательно, \[\dot{t_\pm}^2F_\pm-\dot{R}^2/F_\pm=1,\label{tau}\] где введено обозначение \(F_\pm(\tau)=f_\pm(R(\tau))\). Выполнение этих уравнений автоматически приводит к совпадению индуцированных метрик.

Введём полезную для дальнейшего ф-цию \(\beta_\pm(\tau)=\sqrt{\dot{R}^2+F_\pm}\). Тогда, можно переписать уравнения \eqref{tau} ввиде \[\dot{t_\pm}F_\pm=\beta_\pm.\] Знак в этих уравнениях выбран таким образом, что бы соответствовать "естественным" доколлапсовым начальным условиям.

На всякий случай, явно выпишем \[\dot\beta_\pm=\frac{\dot{R}}{2\sqrt{\dot{R}^2+F_\pm}}\left(2\ddot{R}+{f_\pm}'\right)\]

Вычислим тензоры кривизны. \begin{alignat}{1} {K_\pm}^\tau_\tau\; &= -{n_\pm}_i{u_\pm}_{;j}^i{u_\pm}^j\; &= -{n_\pm}_i(\dot{{u_\pm}^i}+{\Gamma_\pm}^i_{kj}{u_\pm}^k{u_\pm}^j)\; &= \dot{\beta_\pm}/\dot{R}\\ {K_\pm}_\theta^\theta\; &= -{{n_\pm}_\theta}_{;\theta}/R^2\; &= {\Gamma_\pm}^r_{\theta\theta}n_r/R^2\; &= \beta_\pm/R\\ {K_\pm}_\varphi^\varphi\; &= -{{n_\pm}_\varphi}_{;\varphi}/R^2/cos^2\theta\; &= {\Gamma_\pm}^r_{\varphi\varphi}n_r/R^2/cos^2\theta\; &= \beta_\pm/R \end{alignat} (причём заметим, что эти уравнения справедливы для ф-ции \(f(r)\) любого вида).

Считая сферу идеальной жидкостью (\(S^\alpha_\beta=(p+\sigma)u^\alpha u_\beta-p \delta^\alpha_\beta\)) получим следующие соотношения \begin{alignat}{1} S^\tau_\tau\; &= \sigma\; &= -\frac{\beta_+-\beta_-}{4\pi R}\label{eqs}\\ S^\theta_\theta = S^\varphi_\varphi\; &= -p\; &= \frac{\dot{\beta_+}-\dot{\beta_-}}{8\pi \dot{R}} + \frac{\beta_+-\beta_-}{8\pi R}\label{eqp} \end{alignat} где \(\sigma\) - плотность сферы, а \(p\) - давление в ней.

Отметим, что в статическом случае будет \[\frac{\dot{\beta_\pm}}{\dot{R}}=\frac{{f_\pm}'}{2\sqrt{F_\pm}}\label{stat_beta}\]

В частном случае пылевой сферы (\(p=0\)) из уравнения \eqref{eqp} получаем \((\beta_+-\beta_-)R = const\) и подставляя это выражение в \eqref{eqs} получаем "закон сохранения массы" \[4\pi R^2\sigma=m=const\] и соответственно \[\beta_+=\beta_--\frac{m}{R}\]

Возводя в квадрат получим \[F_+-F_-=-2\sqrt{\dot{R}^2+F_-}\frac{m}{R}+\frac{m^2}{R^2}\] \[M_+-M_-=m\sqrt{\dot{R}^2+1-\frac{2M_-}{R}+\frac{Q_-^2}{R^2}-H^2R^2}-\frac{m^2}{2R}+\frac{Q_+^2-Q_-^2}{2R}\label{eqM}\] \[\dot{R}^2=\frac{(F_+-F_-)^2R^2}{4m^2}-\frac{(F_++F_-)}{2}+\frac{m^2}{4R^2}\] \[\dot{t_+}=\frac{1}{F_+}\sqrt{\dot{R}^2+F_+}=\frac{R^2(F_--F_+)-m^2}{2mRF_+}\] \[\dot{t_-}=\frac{1}{F_-}\sqrt{\dot{R}^2+F_-}=\frac{R^2(F_--F_+)+m^2}{2mRF_-}\] \[\dot{R}^2=\frac{(M_+-M_-)^2}{m^2}+\frac{(Q_+^2-Q_-^2)^2}{4m^2R^2}+\frac{m^2}{4R^2}+\frac{M_++M_-}{R}-\frac{Q_+^2+Q_-^2}{2R^2}-1+H^2R^2-\frac{(M_+-M_-)(Q_+^2-Q_-^2)}{m^2R}\] и далее для случая \(H=Q_-=Q_+=0\) \begin{alignat}{1} \dot{R}\; &=\pm\sqrt{\frac{(M_+-M_-)^2}{m^2}+\frac{M_++M_-}{R}+\frac{m^2}{4R^2}-1}\; &=\frac{\pm1}{m R}\sqrt{((M_+-M_-)^2-m^2)R^2+m^2(M_++M_-)R+m^4/4}\\ \dot{t_+}\; &=\frac{R}{R-2M_+}\sqrt{\dot{R}^2+1-\frac{2M_+}{R}}\; &=\frac{(M_+-M_-)R-m^2/2}{m(R-2M_+)}\\ \dot{t_-}\; &=\frac{R}{R-2M_-}\sqrt{\dot{R}^2+1-\frac{2M_-}{R}}\; &=\frac{(M_+-M_-)R+m^2/2}{m(R-2M_-)} \end{alignat}

При \(M_-=Q_-=H=0\) формула \eqref{eqM} имеет "наглядный" физический смысл: гравитационная масса равна кинетическая энергия (включая массу покоя) минус энергия связи плюс энергия электрического поля. При этом (\(Q_+=0\)), при "параболическом" движении (покой на бесконечности) гравитационная масса равна массе покоя, при "гиперболическом" - больше, а при "эллиптическом" соответственно меньше. Аналогично можно классифицировать движение и в общем случае.

В параболическом случае имеем \[\frac{R\dd{R}}{\sqrt{(M_++M_-)R+(M_+-M_-)^2/4}}=\pm\dd{\tau}\] \[\frac{(2R(M_++M_-)-(M_+-M_-)^2)\sqrt{4R(M_++M_-)+(M_+-M_-)^2}}{6(M_++M_-)^2}=\tau_0\pm\tau\]

Детали случая сжатия пылевой (незаряженной) сферы

Рассмотрим в подробностях случай \(p=0,\;M_-=Q_-=0\). Для удобства обозначим \(M_+=M\), \(q=\frac{Q}{m}\) и \(\gamma=\frac{M}{m}\), тогда \(\gamma\gt 1\) будет означать гиперболический случай и \(\gamma\lt 1\) - эллиптический.

Выпишем \[F_-=1-H^2R^2\] \[F_+=1-\frac{2M}{R}+\frac{q^2M^2}{\gamma^2R^2}-H^2R^2\] \[R^2(F_--F_+)=2MR-\frac{q^2M^2}{\gamma^2}\]

Тогда динамика сферы описывается следующими уравнениями: \begin{alignat}{1} \dot{R} &=-\sqrt{\gamma^2+\frac{M^2(1-q^2)^2}{4\gamma^2R^2}+\frac{M(1-q^2)}{R}-1+H^2R^2}\; &= -\sqrt{\left(\gamma+\frac{M(1-q^2)}{2\gamma R}\right)^2-(1-H^2R^2)}\label{r1}\\ \dot{t_-} &= \frac{1}{1-H^2R^2}\left(\gamma+\frac{M(1-q^2)}{2\gamma R}\right)\label{tm1}\\ \dot{t_+} &= \frac{1}{1-\frac{2M}{R}+\frac{q^2M^2}{\gamma^2R^2}-H^2R^2}\left(\gamma-\frac{M(1+q^2)}{2\gamma R}\right)\label{tp1} \end{alignat}

В гиперболическом случае, при \(H=0\), на бесконечности имеем \[\dot{R}=-\sqrt{\gamma^2-1}\] \[\dot{t_\pm}=\gamma\] и соответственно \[v_\infty=\sqrt{1-1/\gamma^2}\label{gamma}\]

В эллиптическом случае, опять же при \(H=0\), максимально достижимый радиус легко находится из \eqref{r1}: \[R_0=\frac{M(1-q^2)}{2\gamma(1-\gamma)}\] Легко видно, что при \(\gamma=(1+q^2)/2\) сфера не существует вне горизонта. Назовём этот случай предельным, так как при \(\gamma\lt (1+q^2)/2\) корректность нашего исходного построения оказывается под вопросом.

Уравнение \eqref{r1} легче всего интегрируется в параболическом случае при \(H=q=0\), но даже в этом случае мы получаем кубическое уравнение для \(R(\tau)\): \[(M-2R)\sqrt{M+4R}=6\sqrt{M}(\tau_0\pm\tau)\notag\]

Во всех допредельных случаях с точки зрения внешнего наблюдателя скорость сферы стремится к 0 по мере того как сфера приближается к горизонту. С точки зрения внутреннего наблюдателя прохождение сферой горизонта ничем особенным не выделено, и при \(R\) стремящемся к 0, скорость стремится к 1.

Далее будем полагать \(H=q=0\).

Статическая сфера

Скомбинируем уравнения \eqref{eqs}, \eqref{eqp} и \eqref{stat_beta} \[p=\frac{\sigma}{2}-\frac{1}{8\pi}\left(\frac{f_+'}{2\sqrt{F_+}}-\frac{f_-'}{2\sqrt{F_-}}\right)=\frac{\sigma}{2}-\frac{1}{8\pi R^2}\left(\frac{M_+R-Q_+^2-H^2R^4}{\sqrt{R^2-2M_+R+Q_+^2-H^2R^4}}-\frac{M_-R-Q_-^2-H^2R^4}{\sqrt{R^2-2M_-R+Q_-^2-H^2R^4}}\right)\]

Взаимодействие сферы с пробными частицами

Будем полагать, что частица движется в экваториальной плоскости.

Обозначим собственное время частицы как \(T\), а 4-скорость частицы через \(U_\pm^i\). Считая, что частица взаимодействует со сферой только гравитационно, получим следующие условия (??) на скорость частицы при пересечении сферы⁶ \[U_+^i{n_+}_i=U_-^i{n_-}_i\label{Un}\] и \[{g_+}_{ij}{U_+}^i{e_+}_\alpha^j={g_-}_{ij}{U_-}^i{e_-}_\alpha^j\label{Ue}\] Эти уравнения означают, что с точки зрения наблюдателя на сфере частица пролетает сквозь сферу без "искажения" траектории.

Из \eqref{Un} и \eqref{eqn} получаем \[U_+^t\dot{R}-U_+^r\dot{t_+}=U_-^t\dot{R}-U_-^r\dot{t_-}\] Из \eqref{Ue} и \eqref{equ} получим \[U_+^tF_+\dot{t_+}-U_+^r\dot{R}/F_+=U_-^tF_-\dot{t_-}-U_-^r\dot{R}/F_-\]

Домножая, вычитая и учитывая \eqref{tau} получим \[U_+^t=U_-^t(F_-\dot{t_-}\dot{t_+}-\dot{R}^2/F_+)+U_-^r\dot{R}(\dot{t_-}/F_+-\dot{t_+}/F_-)\] \[U_+^r=U_-^t\dot{R}(F_-\dot{t_-}-F_+\dot{t_+})+U_-^r(F_+\dot{t_+}\dot{t_-}-\dot{R}^2/F_-)\] Обратные соотношения получаются, очевидно, сменой знаков + и - (а детерминант матрицы перехода равен 1).

Рассмотрим для примера случай покоящейся частицы внутри пылевой сферы (\(M_-=0,\; p=0,\; M_+=1,\; U_-^t=1,\; U_-^r=0\)). Тогда, после пролёта сферы (считаем, что это происходит над горизонтом) 4-скорость частицы окажется \[(U_+^t,\; U_+^r)=\left(\frac{R^2-R-m^2/2}{R(R-2)},\; -\frac{\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}}{R^2}\right)\] Или, скорость частицы по отношению к скорости (сжатия) сферы будет \[\frac{R-m^2/2}{R^2-R-m^2/2}\notag\]

В более общем случае пылевой сферы (\(p=0\)) будет \[U_+^t=U_-^t\frac{R^2-(M_++M_-)R-m^2/2}{R(R-2M_+)}+U_-^r\frac{\sqrt{((M_+-M_-)^2-m^2)R^2+m^2(M_++M_-)R+m^4/4}}{(R-2M_+)(R-2M_-)}\] \[U_+^r=U_-^t\frac{\sqrt{((M_+-M_-)^2-m^2)R^2+m^2(M_++M_-)R+m^4/4}}{R^2}+U_-^r\frac{R^2-(M_++M_-)R-m^2/2}{R(R-2M_-)}\] \[U_+^\theta=U_-^\theta,\quad U_+^\varphi=U_-^\varphi\] или, полагая \(M_-=0,\; M_+=1\), \[U_+^t=U_-^t\frac{R^2-R-m^2/2}{R(R-2)}+U_-^r\frac{\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}}{R(R-2)}\] \[U_+^r=U_-^t\frac{\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}}{R^2}+U_-^r\frac{R^2-R-m^2/2}{R^2}\] \[U_+^\theta=U_-^\theta,\quad U_+^\varphi=U_-^\varphi\]

Рассмотрим частицу со скоростью \(U_-^i=(1,V\cos\alpha,0,V/r\sin\alpha)/\sqrt{1-V^2}\) - т.е. движущуюся под углом \(\alpha\) к "радиусу". Тогда, скорость после пролёта сферы будет \[U_+^t=\frac{R^2-R-m^2/2+V\cos\alpha\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}}{R(R-2)\sqrt{1-V^2}}\] \[U_+^r=\frac{\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}+V\cos\alpha(R^2-R-m^2/2)}{R^2\sqrt{1-V^2}}\] \[U_+^\varphi=\frac{V\sin\alpha}{R\sqrt{1-V^2}}\]

Случай двух пылевых сфер