Статья написана по мотивам обсуждений на разных форумах. Принципиально новых результатов здесь нет, идёт только суммирование и (очень частный) обзор известных результатов.

В основном, статья может представлять, равзе что, методический интерес.

Статья незакончена и, возможно, и не будет закончена. На текущий момент остаются следующие вопросы:

• досчитать сферу и частицу
• внешний вид сферы
• случай двух сфер
• разобраться с "запредельной" сферой

Введение

В статье рассматриваются массивные сферы с позиций ОТО.

В основном, используются Шварцшильдовские координаты, что, вообще говоря, требует отдельного рассмотрения продолжения решений под горизонт.

Хотя в отдельных случаях возможно задание единой системы координат во всём ПВ, в общем случае это либо невозможно, либо приводит к "катастрофическому" усложнению формул. Поэтому, будем придерживаться формализма, изложенного в главе 2 статьи , в и в .

Будут использоваться именно стандартные координаты, так как это позволяет (ввиду совпадения длин окружностей) ввести "единые" пространственные координаты.

Краткое изложение формализма в общем случае

Предполагается, что в ПВ имеется времениподобная поверхность \(\Sigma\), разделяющая ПВ на две области \(M_+\) и \(M_-\) в каждой из которых заданы различные системы координат \(X_+^i\) и \(X_-^i\). Требованием, связывающим эти СК, является совпадение метрик, индуцированных из каждой области на \(\Sigma\).

Считаем, что поверхность \(\Sigma\) параметризована внутренними координатами \(\zeta^\alpha\) и, соответственно, \[X_\pm^i=X_\pm^i(\zeta^\alpha)\]

Тогда, касательные вектора задаются соотношениями \[{e_\pm}_\alpha^i=\dpfs{X_\pm^i}{\zeta^\alpha}\label{covect}\]

Скалярное произведение этих векторов определяет индуцированную на поверхности метрику (первая фундаментальная форма) \[{g_\pm}_{\alpha\beta}={g_\pm}_{ij}{e_\pm}_\alpha^i{e_\pm}_\beta^j\label{metc}\]

Обе метрики должны совпадать в каждой точке поверхности \(\Sigma\): \({g_+}_{\alpha\beta}(\zeta)={g_-}_{\alpha\beta}(\zeta)=g_{\alpha\beta}(\zeta)\)

Тензор внешней кривизны (вторая фундаментальная форма) определяется через единичный ковектор \(n\), нормальный к поверхности, следующим образом (заметим, что направление этого ковектора должно быть одинаковым с обеих сторон поверхности) \[{K_\pm}_{\alpha\beta}={{n_\pm}_i}_{;j}{e_\pm}_\alpha^i{e_\pm}_\beta^j=-{n_\pm}_i{{e_\pm}_\alpha^i}_{;j}{e_\pm}_\beta^j\]

Тензор энергии-импульса поверхности (трёхмерный!) определяется через скачок тензора кривизны поверхности \([K_{\alpha\beta}]={K_+}_{\alpha\beta}-{K_-}_{\alpha\beta}\) и \([K]=g^{\alpha\beta}[K_{\alpha\beta}]\) уравнением Ланцоша (Lanczos) \[S_{\alpha\beta}=\frac{1}{8\pi}\left([K_{\alpha\beta}]-g_{\alpha\beta}[K]\right)\]

Последнее соотношение позволяет придать физически осмысленный вид задаче. В частности, "просто поверхность" должна иметь нулевой \(S_{\alpha\beta}\) и, соответственно, нулевой \([K_{\alpha\beta}]\), то есть совпадающие тензоры внешней кривизны.

Движение массивной (заряженной) сферы в сферически симметричном поле

История движения сферы в ПВ как раз представляет собой пример поверхности \(\Sigma\), описанной в предыдущем разделе. Поскольку в данном случае мы имеем дело только с двумя областями, сохраним для их обозначения знаки \(\pm/+/-\). Величины без этих знаков будут либо относится к самой поверхности, либо быть тождественно равными для обеих областей.

Метрика вне сферы даётся теоремой Биркгофа.

При анализе будут использоваться сферические координаты. Это позволяет использовать угловые координаты общие для всего ПВ (и не использвать для них метки области).

Рассмотрим метрику вне сферы в виде \[\dd{s}^2=f_\pm\dd{t_\pm}^2-f_\pm^{-1}\dd{r_\pm}^2-r_\pm^2\dd{\mathbf\Omega}^2,\] где \[f_\pm(r)=1-\frac{2M_\pm}{r}+\frac{Q_\pm^2}{r^2}-H^2r^2,\] а \(M_\pm\) - параметр массы для соответствующей области, \(Q_\pm\) - заряд, а \(H\) - постоянная Хаббла (\(\sqrt{\Lambda/3}\)).

Параметризуем сферу координатами \((\tau,\theta,\varphi)\), где \(\tau\) - собственное время частиц на сфере. Точкой будет обозначаться производная по \(\tau\). Во внешних областях координаты сферы будут задаваться соотношениями \[r_\pm=R(\tau),\;t_\pm=t_\pm(\tau),\;\theta_\pm=\theta,\;\varphi_\pm=\varphi\] (в стандартных координатах с учётом условия \eqref{metc} координата \(r\) будет непрерывна на сфере)

Тогда, из \eqref{covect} имеем \begin{align} {e_\pm}_\tau^i &= (\dot{t_\pm},\dot{R},0,0)={u_\pm}^i\label{equ}\\ {e_\pm}_\theta^i &= (0,0,1,0)\\ {e_\pm}_\varphi^i &= (0,0,0,1) \end{align}

и нормальный единичный ковектор \[{n_\pm}_i=(\dot{R},-\dot{t_\pm},0,0)\label{eqn}\]

Заметим, что вектора \(u\) и \(n\) имеют довольно простой вид в силу того, что для параметризации поверхности было выбрано собственное время, и, следовательно, \[\dot{t_\pm}^2F_\pm-\dot{R}^2/F_\pm=1,\label{tau}\] где введено обозначение \(F_\pm(\tau)=f_\pm(R(\tau))\). Выполнение этих уравнений автоматически приводит к совпадению индуцированных метрик.

Введём полезную для дальнейшего ф-цию \(\beta_\pm(\tau)=\sqrt{\dot{R}^2+F_\pm}\). Тогда, можно переписать уравнения \eqref{tau} в виде \[\dot{t_\pm}F_\pm=\beta_\pm.\] Знак в этих уравнениях выбран таким образом, что бы соответствовать "естественным" доколлапсовым начальным условиям.

На всякий случай, явно выпишем \[\dot\beta_\pm=\frac{\dot{R}}{2\sqrt{\dot{R}^2+F_\pm}}\left(2\ddot{R}+{f_\pm}'\right)\]

Вычислим тензоры кривизны. \begin{alignat}{1} {K_\pm}^\tau_\tau\; &= -{n_\pm}_i{u_\pm}_{;j}^i{u_\pm}^j\; &= -{n_\pm}_i(\dot{{u_\pm}^i}+{\Gamma_\pm}^i_{kj}{u_\pm}^k{u_\pm}^j)\; &= \dot{\beta_\pm}/\dot{R}\\ {K_\pm}_\theta^\theta\; &= -{{n_\pm}_\theta}_{;\theta}/R^2\; &= {\Gamma_\pm}^r_{\theta\theta}n_r/R^2\; &= \beta_\pm/R\\ {K_\pm}_\varphi^\varphi\; &= -{{n_\pm}_\varphi}_{;\varphi}/R^2/cos^2\theta\; &= {\Gamma_\pm}^r_{\varphi\varphi}n_r/R^2/cos^2\theta\; &= \beta_\pm/R \end{alignat} (причём заметим, что эти уравнения справедливы для ф-ции \(f(r)\) любого вида).

Считая сферу идеальной жидкостью (\(S^\alpha_\beta=(p+\sigma)u^\alpha u_\beta-p \delta^\alpha_\beta\)) получим следующие соотношения \begin{alignat}{1} S^\tau_\tau\; &= \sigma\; &= -\frac{\beta_+-\beta_-}{4\pi R}\label{eqs}\\ S^\theta_\theta = S^\varphi_\varphi\; &= -p\; &= \frac{\dot{\beta_+}-\dot{\beta_-}}{8\pi \dot{R}} + \frac{\beta_+-\beta_-}{8\pi R}\label{eqp} \end{alignat} где \(\sigma\) - плотность сферы, а \(p\) - давление в ней.

Отметим, что в статическом случае будет \[\frac{\dot{\beta_\pm}}{\dot{R}}=\frac{{f_\pm}'}{2\sqrt{F_\pm}}\label{stat_beta}\]

В частном случае пылевой сферы (\(p=0\)) из уравнения \eqref{eqp} получаем \((\beta_+-\beta_-)R = const\) и подставляя это выражение в \eqref{eqs} получаем "закон сохранения массы" \[4\pi R^2\sigma=m=const\label{eqm}\] и соответственно \[\beta_+=\beta_--\frac{m}{R}\]

Возводя в квадрат получим \[F_+-F_-=-2\sqrt{\dot{R}^2+F_-}\frac{m}{R}+\frac{m^2}{R^2}\] \[M_+-M_-=m\sqrt{\dot{R}^2+1-\frac{2M_-}{R}+\frac{Q_-^2}{R^2}-H^2R^2}-\frac{m^2}{2R}+\frac{Q_+^2-Q_-^2}{2R}\label{eqM}\] \[\dot{R}^2=\frac{(F_+-F_-)^2R^2}{4m^2}-\frac{(F_++F_-)}{2}+\frac{m^2}{4R^2}\] \[\dot{t_+}=\frac{1}{F_+}\sqrt{\dot{R}^2+F_+}=\frac{R^2(F_--F_+)-m^2}{2mRF_+}\] \[\dot{t_-}=\frac{1}{F_-}\sqrt{\dot{R}^2+F_-}=\frac{R^2(F_--F_+)+m^2}{2mRF_-}\] \[\dot{R}^2=\frac{(M_+-M_-)^2}{m^2}+\frac{(Q_+^2-Q_-^2)^2}{4m^2R^2}+\frac{m^2}{4R^2}+\frac{M_++M_-}{R}-\frac{Q_+^2+Q_-^2}{2R^2}-1+H^2R^2-\frac{(M_+-M_-)(Q_+^2-Q_-^2)}{m^2R}\] и далее для случая \(H=Q_-=Q_+=0\) \begin{alignat}{1} \dot{R}\; &=\pm\sqrt{\frac{(M_+-M_-)^2}{m^2}+\frac{M_++M_-}{R}+\frac{m^2}{4R^2}-1}\; &=\frac{\pm1}{m R}\sqrt{((M_+-M_-)^2-m^2)R^2+m^2(M_++M_-)R+m^4/4}\\ \dot{t_+}\; &=\frac{R}{R-2M_+}\sqrt{\dot{R}^2+1-\frac{2M_+}{R}}\; &=\frac{(M_+-M_-)R-m^2/2}{m(R-2M_+)}\\ \dot{t_-}\; &=\frac{R}{R-2M_-}\sqrt{\dot{R}^2+1-\frac{2M_-}{R}}\; &=\frac{(M_+-M_-)R+m^2/2}{m(R-2M_-)} \end{alignat}

При \(M_-=Q_-=H=0\) формула \eqref{eqM} имеет "наглядный" физический смысл: гравитационная масса равна кинетическая энергия (включая массу покоя) минус энергия связи плюс энергия электрического поля. При этом (\(Q_+=0\)), при "параболическом" движении (покой на бесконечности) гравитационная масса равна массе покоя, при "гиперболическом" - больше, а при "эллиптическом" соответственно меньше. Аналогично можно классифицировать движение и в общем случае.

В параболическом случае имеем \[\frac{R\dd{R}}{\sqrt{(M_++M_-)R+(M_+-M_-)^2/4}}=\pm\dd{\tau}\] \[\frac{(2R(M_++M_-)-(M_+-M_-)^2)\sqrt{4R(M_++M_-)+(M_+-M_-)^2}}{6(M_++M_-)^2}=\tau_0\pm\tau\]

Детали случая сжатия пылевой (незаряженной) сферы

Рассмотрим в подробностях случай \(p=0,\;M_-=Q_-=0\). Для удобства обозначим \(M_+=M\), \(q=\frac{Q}{m}\) и \(\gamma=\frac{M}{m}\), тогда \(\gamma\gt 1\) будет означать гиперболический случай и \(\gamma\lt 1\) - эллиптический.

Выпишем \[F_-=1-H^2R^2\] \[F_+=1-\frac{2M}{R}+\frac{q^2M^2}{\gamma^2R^2}-H^2R^2\] \[R^2(F_--F_+)=2MR-\frac{q^2M^2}{\gamma^2}\]

Тогда динамика сферы описывается следующими уравнениями: \begin{alignat}{1} \dot{R} &=-\sqrt{\gamma^2+\frac{M^2(1-q^2)^2}{4\gamma^2R^2}+\frac{M(1-q^2)}{R}-1+H^2R^2}\; &= -\sqrt{\left(\gamma+\frac{M(1-q^2)}{2\gamma R}\right)^2-(1-H^2R^2)}\label{r1}\\ \dot{t_-} &= \frac{1}{1-H^2R^2}\left(\gamma+\frac{M(1-q^2)}{2\gamma R}\right)\label{tm1}\\ \dot{t_+} &= \frac{1}{1-\frac{2M}{R}+\frac{q^2M^2}{\gamma^2R^2}-H^2R^2}\left(\gamma-\frac{M(1+q^2)}{2\gamma R}\right)\label{tp1} \end{alignat}

В гиперболическом случае, при \(H=0\), на бесконечности имеем \[\dot{R}=-\sqrt{\gamma^2-1}\] \[\dot{t_\pm}=\gamma\] и соответственно \[v_\infty=\sqrt{1-1/\gamma^2}\label{gamma}\]

В эллиптическом случае, опять же при \(H=0\), максимально достижимый радиус легко находится из \eqref{r1}: \[R_0=\frac{M(1-q^2)}{2\gamma(1-\gamma)}\] Легко видно, что при \(\gamma=(1+q^2)/2\) сфера не существует вне горизонта. Назовём этот случай предельным, так как при \(\gamma\lt (1+q^2)/2\) корректность нашего исходного построения оказывается под вопросом.

Уравнение \eqref{r1} легче всего интегрируется в параболическом случае при \(H=q=0\), но даже в этом случае мы получаем кубическое уравнение для \(R(\tau)\): \[(M-2R)\sqrt{M+4R}=6\sqrt{M}(\tau_0\pm\tau)\notag\]

Во всех допредельных случаях с точки зрения внешнего наблюдателя скорость сферы стремится к 0 по мере того как сфера приближается к горизонту. С точки зрения внутреннего наблюдателя прохождение сферой горизонта ничем особенным не выделено, и при \(R\) стремящемся к 0, скорость стремится к 1.

Далее будем полагать \(H=q=0\).

Статическая сфера

Скомбинируем уравнения \eqref{eqs}, \eqref{eqp} и \eqref{stat_beta} \[p=\frac{\sigma}{2}-\frac{1}{8\pi}\left(\frac{f_+'}{2\sqrt{F_+}}-\frac{f_-'}{2\sqrt{F_-}}\right)=\frac{\sigma}{2}-\frac{1}{8\pi R^2}\left(\frac{M_+R-Q_+^2-H^2R^4}{\sqrt{R^2-2M_+R+Q_+^2-H^2R^4}}-\frac{M_-R-Q_-^2-H^2R^4}{\sqrt{R^2-2M_-R+Q_-^2-H^2R^4}}\right)\] Кроме того, само уранение \eqref{eqs} даёт \[4\pi R\sigma=\sqrt{F_-}-\sqrt{F_+}=\sqrt{1-\frac{2M_-}{R}+\frac{Q_-^2}{R^2}-H^2R^2}-\sqrt{1-\frac{2M_+}{R}+\frac{Q_+^2}{R^2}-H^2R^2}\]

Считая внутренность сферы пустой (\(M_-=Q_-=0\)) и используя \eqref{eqm} и обозначения \(M_+=M\), \(q=\frac{Q_+}{m}\), \(\gamma=\frac{M}{m}\), \(\eta^2=1-H^2R^2\) и \(\mu=\frac{m}{R}\), получим условие равновесия пылевой сферы \[\mu+\frac{\eta^2-1}{\eta}=\frac{\gamma\mu-q^2\mu^2+\eta^2-1}{\sqrt{\eta^2-2\gamma\mu+q^2\mu^2}}\] и \[\mu=\eta-\sqrt{\eta^2-2\gamma\mu+q^2\mu^2}\] Выразим \(\gamma\) из последнего уравнения \[\gamma=\eta-\frac{1-q^2}{2}\mu\] и подставим в предыдущее \[\frac{1-q^2}{2}\mu=\frac{1-\eta^2}{\eta}\]

При нулевой лямбде получаем единственный возможный вариант пылевой сфере оставаться в статике это иметь удельный заряд \(q^2=1\) (что соответствует критической ЧД Рейснера-Нордстрёма).

Взаимодействие сферы с пробными частицами

Будем полагать, что частица движется в экваториальной плоскости.

Обозначим собственное время частицы как \(T\), а 4-скорость частицы через \(U_\pm^i\). Считая, что частица взаимодействует со сферой только гравитационно, получим следующие условия (??) на скорость частицы при пересечении сферы \[U_+^i{n_+}_i=U_-^i{n_-}_i\label{Un}\] и \[{g_+}_{ij}{U_+}^i{e_+}_\alpha^j={g_-}_{ij}{U_-}^i{e_-}_\alpha^j\label{Ue}\] Эти уравнения означают, что с точки зрения наблюдателя на сфере частица пролетает сквозь сферу без "искажения" траектории.

Из \eqref{Un} и \eqref{eqn} получаем \[U_+^t\dot{R}-U_+^r\dot{t_+}=U_-^t\dot{R}-U_-^r\dot{t_-}\] Из \eqref{Ue} и \eqref{equ} получим \[U_+^tF_+\dot{t_+}-U_+^r\dot{R}/F_+=U_-^tF_-\dot{t_-}-U_-^r\dot{R}/F_-\]

Домножая, вычитая и учитывая \eqref{tau} получим \[U_+^t=U_-^t(F_-\dot{t_-}\dot{t_+}-\dot{R}^2/F_+)+U_-^r\dot{R}(\dot{t_-}/F_+-\dot{t_+}/F_-)\] \[U_+^r=U_-^t\dot{R}(F_-\dot{t_-}-F_+\dot{t_+})+U_-^r(F_+\dot{t_+}\dot{t_-}-\dot{R}^2/F_-)\] Обратные соотношения получаются, очевидно, сменой знаков + и - (а детерминант матрицы перехода равен 1).

Рассмотрим для примера случай покоящейся частицы внутри пылевой сферы (\(M_-=0,\; p=0,\; M_+=1,\; U_-^t=1,\; U_-^r=0\)). Тогда, после пролёта сферы (считаем, что это происходит над горизонтом) 4-скорость частицы окажется \[(U_+^t,\; U_+^r)=\left(\frac{R^2-R-m^2/2}{R(R-2)},\; -\frac{\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}}{R^2}\right)\] Или, скорость частицы по отношению к скорости (сжатия) сферы будет \[\frac{R-m^2/2}{R^2-R-m^2/2}\notag\]

В более общем случае пылевой сферы (\(p=0\)) будет \[U_+^t=U_-^t\frac{R^2-(M_++M_-)R-m^2/2}{R(R-2M_+)}+U_-^r\frac{\sqrt{((M_+-M_-)^2-m^2)R^2+m^2(M_++M_-)R+m^4/4}}{(R-2M_+)(R-2M_-)}\] \[U_+^r=U_-^t\frac{\sqrt{((M_+-M_-)^2-m^2)R^2+m^2(M_++M_-)R+m^4/4}}{R^2}+U_-^r\frac{R^2-(M_++M_-)R-m^2/2}{R(R-2M_-)}\] \[U_+^\theta=U_-^\theta,\quad U_+^\varphi=U_-^\varphi\] или, полагая \(M_-=0,\; M_+=1\), \[U_+^t=U_-^t\frac{R^2-R-m^2/2}{R(R-2)}+U_-^r\frac{\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}}{R(R-2)}\] \[U_+^r=U_-^t\frac{\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}}{R^2}+U_-^r\frac{R^2-R-m^2/2}{R^2}\] \[U_+^\theta=U_-^\theta,\quad U_+^\varphi=U_-^\varphi\]

Рассмотрим частицу со скоростью \(U_-^i=(1,V\cos\alpha,0,V/r\sin\alpha)/\sqrt{1-V^2}\) - т.е. движущуюся под углом \(\alpha\) к "радиусу". Тогда, скорость после пролёта сферы будет \[U_+^t=\frac{R^2-R-m^2/2+V\cos\alpha\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}}{R(R-2)\sqrt{1-V^2}}\] \[U_+^r=\frac{\sqrt{(1-m^2)R^2+m^2R+m^4/4}+V\cos\alpha(R^2-R-m^2/2)}{R^2\sqrt{1-V^2}}\] \[U_+^\varphi=\frac{V\sin\alpha}{R\sqrt{1-V^2}}\]

Случай двух пылевых сфер